El conjunto que contiene sólo a sí mismo

Question

Ignorando el axioma de regularidad (y, por tanto, la implicación de "ningún sistema puede contener a sí mismo"), ¿sería correcto afirmar que el conjunto que contiene sólo a sí mismo es único?

Mi argumento es que si $x$ es dicho sistema, $$ x = \{x\} = \{\{x\}\} = \{\{\{\cdot\cdot\cdot\}\}\} $ $ Ad infinitum, que parece ser única.

Answer 1

No tiene que ser único; de hecho, puede debilitar el axioma de fundación para permitir ya sea fundada o conjuntos de conjuntos de la forma $x=\{x\}$. Los conjuntos de la segunda forma se llama Quine átomos, y jugar el papel de urelements. Estos son útiles en la teoría de conjuntos con los átomos , ya que le permiten formular una teoría de los conjuntos y los átomos, sin tener que recurrir a múltiples ordenados lógica.

Para más información, consulte El Axioma de Elección por T. J. Jech.

Answer 2

En círculos viciosos, Barwise y musgo explorar circularidades como estos que pueden resultar cuando la ZF axioma de Fundación. En su presentación, unicidad de la solución de la ecuación de $x=\{x\}$ y otros como él debe agregarse como un axioma.