Anulación trigonométrica en el círculo unitario

Question

Sea $z \in \mathbb{C}$ con $|z|=1$ y $z\ne 1$ . Consideremos ahora la suma $$S(N,p)=\sum_{k=0}^N k^p z^k,$$ para algunos enteros positivos $N,p$ .

Un límite superior inmediato de $|S(N,p)|$ es $$|S(N,p)|\le C_1(p)N^{p+1},$$ para algunos constante $C_1$ dependiendo sólo de $p$ . Busco una referencia que demuestre que contabilizando la anulación que tenemos $$|S(N,p)|\le C_2(|1-z|,p)N^{p},$$ para alguna constante explícita $C_2$ dependiendo sólo de $p,|1-z|,$ y monótona decreciente en $|1-z|$ .

Es posible demostrar tal límite utilizando $\sum_{k=0}^n k^p z^k = \left(z \frac{d}{dz}\right)^p \frac{1-z^{N+1}}{1-z}$ , pero como es surly conocido espero una referencia.

Se agradecen mucho las respuestas.

Answer 1

Podemos escribir simplemente $$S(n,p)(1-z)=-N^pz^{N+1}+\sum_{k=1}^{N} z^k(k^{p}-(k-1)^p),$$ por tanto, por desigualdad triangular $$ \left|S(n,p)\right|\cdot |1-z|\leqslant 2N^p. $$