Los octoniones en un mal día

Question

Podemos definir el álgebra de cuaterniones $\mathbb H$ sobre cualquier campo $k$ y dependiendo de la aritmética de $k$ es un álgebra de división o un álgebra matricial.

También podemos definir el álgebra de octoniones $\mathbb O$ sobre cualquier campo $k$ y si sobre $k$ el $8$ -forma cuadrática $Q=x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2+x_6^2+x_7^2$ es anisótropo, entonces $\mathbb O$ es de nuevo un álgebra de división, no asociativa, pero bueno.

¿Qué ocurre con $\mathbb O$ si $k$ es tal que $Q$ ¿es isótropo?

La teoría clásica de la estructura de las álgebras de Jordan no conmutativas nos dice que $\mathbb O$ es, sobre cualquier campo, un producto directo de álgebras flexibles simples asociativas en potencia procedentes de una lista bastante restringida: álgebras de Jordan conmutativas simples, álgebras cuasisociativas y álgebras cuadráticas flexibles con formas normativas no degeneradas (el libro de Shafer sobre álgebra no asociativa explica todo esto, que -diría yo- está casi olvidado hoy en día), pero estoy bastante seguro de que se puede ser muy específico sobre lo que sale en el caso de los octoniones. En otras palabras, probablemente se pueda encontrar algo que desempeñe el papel de "álgebra matricial" en el enunciado sobre los cuaterniones.

N.B. Todo esto sobre campos de característica cero.

Answer 1

$\DeclareMathOperator\Tr{Tr} $ Supongamos que $k$ es un campo con $\operatorname{char}(k) \neq 2$ . Convengamos en que un "álgebra de octoniones" sobre $k$ es un unital de 8 dimensiones $k$ -álgebra $A$ dotado de una forma cuadrática $N: A \rightarrow k$ cuya forma bilineal asociada $T(x,y) = N(x+y) - N(x) - N(y)$ es no degenerada, y que satisface $N(xy) = N(x) N(y)$ para todos $x,y \in A$ .

En $x \in A \setminus k$ la traza $\Tr(x) = T(x,1)$ y norma $N(x)$ vienen determinadas por la estructura del álgebra: $x$ es la raíz de un polinomio cuadrático con coeficientes $-\Tr(x)$ y $N(x)$ . Por lo tanto, la estructura del álgebra determina la forma cuadrática $N$ de forma conveniente. Se puede hablar de la "clase de isomorfismo de un álgebra de octoniones" llevando o no la forma cuadrática; en realidad no importa.

Es un viejo teorema (¿Jacobson? ¿Albert? No recuerdo ver " El Libro de las Involuciones " también) que la clase de isomorfismo del álgebra de octoniones $k$ viene determinada por la clase de isomorfismo de la forma cuadrática $N$ . Ahora, esencialmente por el proceso de duplicación de Cayley-Dickson, la forma de la norma $N$ es una forma Pfister, es decir, $N$ es isomorfo a $\langle1,-a\rangle \otimes \langle1,-b\rangle \otimes \langle1,-c\rangle$ para algunos $a,b,c \in k$ .

Es un hecho sobre las formas de Pfister que cuando son isótropas, se dividen. Así que si la forma de la norma representa cero, entonces $N$ es isomorfo a $\langle1,-1\rangle \otimes \langle1,-1\rangle \otimes \langle1,-1\rangle$ y el álgebra de octoniones es isomorfa al álgebra de octoniones dividida sobre $k$ .

En este nivel de generalidad, las clases de isomorfismo de las álgebras octonión sobre $k$ se clasifican hasta el isomorfismo por la cohomología de Galois $H^3(k, \mu_2)$ También se puede ver una clase de cohomología de este tipo desde la perspectiva de la forma de Pfister. La forma Pfister $\langle1,-a\rangle \otimes \langle1,-b\rangle \otimes \langle1,-c\rangle$ depende únicamente de las clases cuadradas de $a, b, c$ dando tres clases en $H^1(k, \mu_2)$ cuyo producto taza es el elemento de $H^3(k, \mu_2)$ clasificación del álgebra de octoniones.