Espacios compactos con álgebra sin átomos de conjuntos cerrados

Question

Sea $X$ sea un espacio topológico compacto (no necesariamente metrizable). Sea $\mathcal{B}$ sea su álgebra de conjuntos cerrados y supongamos que $\mathcal{B}$ no tiene átomos, es decir, todo subconjunto cerrado no vacío de $X$ puede dividirse en dos subconjuntos cerrados no vacíos.

Esto ocurre, por ejemplo, cuando $X$ está totalmente desconectado. En ese caso, $X$ es un límite inverso de un sistema de espacios finitos. Sin embargo, supongamos que $X$ no está totalmente desconectada. Puede $X$ ¿se puede expresar como un límite inverso de compactos con un número finito de componentes conectados (necesariamente cerrados)?

Answer 1

La suposición de que $\mathcal{B}$ no tiene átomos es totalmente irrelevante aquí. Todo espacio compacto de Hausdorff $X$ es un límite inverso de espacios Hausdorff compactos con un número finito de componentes. Para demostrarlo, primero observemos que podemos suponer que $X$ es un subespacio de $[0,1]^I$ para algunos $I$ . Digamos que un subconjunto $\prod_{i\in I}U_i\subseteq[0,1]^I$ es una caja si cada $U_i$ es un intervalo abierto y $U_i=[0,1]$ para todos menos finitamente muchos $i$ . Todo conjunto abierto en $[0,1]^I$ una unión de cajas, por lo que todo conjunto cerrado (en particular, $X$ ) es una intersección de complementos de cajas. Además, es fácil ver que una intersección finita de complementos de cajas tiene finitamente muchos componentes conectados. Consideremos ahora el sistema inverso formado por todas las intersecciones finitas de complementos de cajas en $[0,1]^I$ que contienen $X$ (y sus mapas de inclusión). Se trata de un sistema inverso de espacios Hausdorff compactos con un número finito de componentes conexos cuyo límite es $X$ .