Confusión entre dominio y alcance

Question

Halla el dominio de la inversa de la siguiente función: $$f(x) = kx^\frac{1}{2}$$

La inversa, utilizando algunos reordenamientos algebraicos básicos, puede decirse que es:

$$f^{-1}(x) = \frac{k^2}{x^2}$$

Como es evidente, el dominio de esta función parece ser todos los números reales.

Sin embargo, una propiedad de las funciones establece que,

El dominio de $f(x)$ es igual al rango de $f^{-1}(x)$ y el dominio de $f^{-1}(x)$ es igual al rango de $f(x)$

Sabemos que la gama de $f(x)$ est $x>0$ ;

El presunto dominio de $f^{-1}(x)$ no es igual al rango de $f(x)$ . ¿Por qué el dominio de $f^{-1}(x)$ se dice que es el rango de $f(x)$ ¿incluso cuando se supone que la función inversa no necesita tener una restricción en su dominio?

Answer 1

En primer lugar, la inversa debe tomar cualquier salida de $f(x)$ y devuelve el valor original. Como tal, los valores fuera de esa salida (el rango del original) no deben ser parte de la entrada de la inversa (dominio).

En segundo lugar, has reorganizado mal y tu fracción está al revés.

En tercer lugar, el dominio de $f(x)$ est $x\geq0$ no sólo $x>0$ .

Por último, hay dos casos que debe tener en cuenta. O bien $k>0$ o $k<0$ . Podemos ignorar el $k=0$ ya que no tiene función inversa.

Caso $k>0$

El dominio de $f(x)$ est $x\geq0$ y así podemos determinar que el rango es $y\geq0$ . Por lo tanto, el dominio de la inversa debe ser $x>0$ . Tenemos que ignorar el resto del dominio potencial ( $x<0$ se muestra con línea de puntos), ya que no son posibles salidas de $f(x)$ .

Esto conduce a $f^{-1}(x)=\frac{x^2}{k^2}, x\geq0$

Ejemplo con $k=1$

Caso $k<0$

Básicamente lo mismo pero con los signos al revés. El dominio de $f(x)$ est $x\geq0$ y así podemos determinar que el rango es $y\leq0$ . Por lo tanto, el dominio de la inversa debe ser $x\leq0$ . Tenemos que ignorar el resto del dominio potencial ( $x>0$ se muestra con línea de puntos), ya que no son posibles salidas de $f(x)$ .

Esto conduce a $f^{-1}(x)=\frac{x^2}{k^2}, x\leq0$

Ejemplo con $k=-1$

Answer 2

La inversa de la función $f(x)=kx^{\frac 12}$ no es el todo parábola, sólo parte de ella. Para tomar la inversa de una función, tiene que ser uno a uno. Cuando halles algebraicamente la inversa, ten en cuenta que lo que tienes es la positivo raíz de $x$ no el negativo .

Answer 3

Para $f$ para tener una inversa, tiene que ser biyectiva. En $f(x)=kx^{1/2}$ sólo toma valor para $x\geq 0$ . Y dependiendo de $k$ el rango puede ser real no negativo o real no positivo.

Pero el problema es su función inversa $f^{-1}(x)=\frac{x^2}{k^2}$ no es biyectiva si se toman todos los números reales como su dominio. Así que en realidad la función inversa real es la restricción $f^{-1}(x)=\frac{x^2}{k^2}$ para $x\geq 0$ (si $k>0$ ) o para $x\leq 0$ (si $k<0$ )

Answer 4

Sólo para insistir en lo que dicen los demás,

la función $f$ como función de reales a reales no es invertible, ya que no es suryectiva (su rango no es todo el conjunto de $\mathbb{R}$ ). De hecho, ni siquiera está definida como una función sobre el conjunto de $\mathbb{R}$ . Sin embargo, como función de $[0,\infty)$ al intervalo $[0,\infty)$ es invertible.

Sucede que $[0,\infty)$ es un subconjunto de $\mathbb{R}$ y cuando se encuentra una fórmula explícita para la inversa es necesario restringir el dominio de la función. Es decir, el problema real que intentas resolver es el siguiente

Encontrar una inversa para $f(x)=k\sqrt{x}$ como función de $[0,\infty)$ a $[0,\infty)$ .

La respuesta es: la inversa es $f^{-1}(x)=x^2/k^2$ como función de $[0,\infty)$ a $[0,\infty)$

Answer 5

En primer lugar, no impone ninguna restricción a $k$ . Esto acabará importando.

En segundo lugar, " $f(x) = k x^{\frac{1}{2}}$ "no es una función. Una función presentada así es un dominio y una regla/fórmula/expresión para convertir elementos del dominio en elementos de la imagen. Cuando falta el dominio, es normalmente entendido como el subconjunto más grande de cualquier conjunto que tenga sentido dado el tema actual del discurso. Usted parece indicar que los números reales son ese conjunto. En este caso, el dominio de $f(x)$ est $x \geq 0$ . (Porque no hay retos para sacar raíces cuadradas de cero y números positivos). Si $k=0$ podríamos argumentar que el dominio son todos los reales, pero eso no será interesante en el siguiente paso, así que lo dejamos a un lado.

Ahora que tenemos una función completamente especificada, podemos intentar encontrar su inversa. Si $k=0$ hemos terminado porque $f$ no es inyectiva (equivalentemente, no pasa "la prueba de la línea horizontal") por lo que no tiene inversa. (Si, por alguna razón, el dominio de $f$ hubiera sido un único punto, podríamos continuar -- el dominio de la inversa será la salida de $f$ en ese punto). En caso contrario, si $k>0$ la gama de $f$ est $[0,\infty)$ y si $k < 0$ la gama de $f$ est $(-\infty,0]$ . Usando el hecho sobre funciones y sus inversos que mencionas, el dominio de $f^{-1}$ es $[0,\infty)$ o $(-\infty,0]$ como $k >0$ o $k < 0$ respectivamente.

Podríamos ir un poco más lejos para comprobar lo anterior. Calculamos \begin{align*} f(x) &= y = k x^{\frac{1}{2}} \text{, so} \\ f^{-1}(y) &= x = \left( \frac{y}{k} \right)^2 \text{.} \end{align*} Si $k>0$ tenemos $y \geq 0$ y estamos buscando un punto en la misma mitad de la función cuadrada que se convierte en la mitad superior de la gráfica de la función raíz cuadrada bajo inversión. Si $k < 0$ tenemos $y \leq 0$ y estamos viendo la misma mitad de la gráfica de la función cuadrada que se convierte en el inferior la mitad de la función raíz cuadrada bajo inversión (como debemos ya que $k<0$ significa que sólo estamos considerando esa mitad).