Me preguntaba si alguien conoce algún resultado interesante o sorprendente que utilice el teorema de Cartan-Hadamards (o sus generalizaciones).
Saludos cordiales
Respuesta
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Existe una versión del teorema de Cartan-Hadamard que afecta a espacios métricos algo singulares. La aplicación más notable que conozco aparece en una serie de artículos de Burago, Ferliger y Kononenko, la mayoría escritos aquí:
Estimaciones uniformes sobre el número de colisiones en billares semidispersos. Ann. of Math. (2) 147 (1998), no. 3, 695-708.
De la revisión Math de este documento:
Se trata de un artículo extraordinario que resuelve un antiguo y célebre problema abierto en la teoría de los sistemas dinámicos y la mecánica del billar. Los autores demuestran que en un gas de N bolas duras en el espacio abierto el número de colisiones posibles está uniformemente acotado (hasta ahora, el problema sólo se había resuelto para N=3). Los autores dan un límite superior explícito para el número de colisiones entre N bolas duras de masas arbitrarias. También resuelven un problema de billar más general: para billares semidispersos multidimensionales (es decir, con paredes cóncavas hacia dentro) el número de colisiones cerca de cualquier punto de esquina "no degenerado'' está uniformemente acotado. Se encuentra un nuevo criterio sencillo de no degeneración de un punto de esquina. Los autores dan una solución elemental y muy elegante a los problemas anteriores. Además, generalizan el resultado (y la prueba) a billares en variedades riemannianas con curvatura seccional acotada, donde la partícula se mueve a lo largo de geodésicas entre colisiones elásticas con paredes. Esto implica la teoría de los espacios de Aleksandrov.
Véase también:
D. Burago, S. Ferleger, A. Kononenko, A geometric approach to semi-dispersing billiards. Hard ball systems and the Lorentz gas, 9-27, Encyclopaedia Math. Sci., 101, Math. Phys., II, Springer, Berlín, 2000.
para un debate informal sobre los resultados y los métodos.
