Estoy tratando de demostrar que $\sum_{j=1}^n|Z_1\cdots Z_j|$ converge en $L^1$ y a.s. como $n\to\infty$ para $Z_i\sim N(0,1)$ independientemente. Creo que debería usar que tengo una suma de v.r. no negativas con expectativa $\sqrt{\frac2{\pi}}^{\ n}$ que converge a $0$ exponencialmente. ¿Existe algún teorema que dé ambas $L^1$ y convergencia a.s. de una suma de v.r. no negativas con expectativas que tienden a $0$ ¿Exponencialmente? Si no es así, ¿conoce otro enfoque que pueda funcionar en este caso?
Respuesta
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En primer lugar, veamos $\mathbb{L}^1$ convergencia. Todo lo que necesitas probar es que esta secuencia converge absolutamente, es decir
$$\sum_{n \geq 1} \mathbb{E} (|Z_1 \ldots Z_n|) < +\infty.$$
Este criterio es nítido en este caso, ya que todos los incrementos son no negativos.
Para la convergencia casi segura, observemos que esta secuencia de variables aleatorias $S_n$ converge en $[0,+\infty]$ simplemente porque no es decreciente. Todo lo que necesitamos probar para la convergencia a.s. es que
$$\mathbb{P} \left(\lim_{n \to + \infty} \sum_{k=1}^n |Z_1 \ldots Z_k| = +\infty \right) = 0.$$
Pero sabemos que, por el teorema de convergencia monótona y el teorema de Fubini,
$$\mathbb{E} \left(\lim_{n \to + \infty} \sum_{k=1}^n |Z_1 \ldots Z_k| \right) = \mathbb{E} \left(\sum_{n \geq 1} |Z_1 \ldots Z_n| \right) = \sum_{n \geq 1} \mathbb{E} \left( |Z_1 \ldots Z_n| \right),$$
que ya hemos calculado en el primer paso.
