Si $p^2\,$ es divisible por 3, ¿por qué p también es divisible por 3?

Question

Me encontré con esto al probar que el $\sqrt{3}$ es irracional

Answer 1

Tomemos la afirmación contrapositiva: Demuestra que si $p$ no es divisible por $3$ entonces $p^2$ no es divisible por $3$ .

Answer 2

Prueba por contrapositiva:

Supongamos que para algunos $p$ , $3 \nmid p$ entonces los dos únicos casos son: $p \equiv 1\pmod{3}$ y $p \equiv 2\pmod{3}$ . Calcualte $p^2 \mod 3$ y llegar a la conclusión.

Answer 3

Aunque no conozcas (no recuerdes) nada de teoría de números, siempre puedes escribir $p=3m+k$ donde $m$ es un número entero y $k\in\{0,1,2\}$ . Entonces, $$p^2=(3m+k)^2=9m^2+6mk+k^2.$$ Para que sea divisible por $3$ , $k^2$ tiene que ser divisible por $3$ . Puede comprobar manualmente que sólo $k=0$ funciona.

Answer 4

Yo haría una aproximación mirando la factorización prima de $p^2$ . Como es un cuadrado, las potencias de su factorización prima deben ser todas números pares. Como es divisible por $3$ tiene un $3$ elevado a algún número par no nulo.

De ello se deduce que $p$ también debe tener $3$ en su factorización prima.

Answer 5

Se trata de un caso particular del Lema de Euclides . Es una consecuencia fácil de la factorización en primos, pero sin asumir la factorización en primos algo menos fácil.