Pregunta básica sobre haces de fibras

Question

Estoy trabajando con la siguiente definición de haz de fibras:

Sea $M$ y $F$ sean espacios topológicos. Un haz de fibras sobre $M$ con fibra modelo $F$ es un espacio topológico $E$ junto con un mapa continuo suryectivo $\pi \, \colon E \to M$ que cumple la siguiente propiedad: para cada $p \in M$ existe una vecindad $U$ de $p$ en $M$ y un homeomorfismo $\Phi \, \colon \pi^{-1}(U) \to U \times F$ tal que $\pi_{1} \circ \Phi = \pi$ donde $\pi_{1} \, \colon U \times F \to U$ es la proyección sobre el primer factor.

Ahora, dejemos que $(E,\pi)$ sea un haz de fibras. Claramente, denotando $\pi^{-1}(\{p\})$ por $E_{p}$ se tiene $$ E = \bigcup_{p \in M} E_{p}, $$ y cada fibra $E_{p}$ es homeomorfo a $F$ . Afirmo que siempre se puede escribir $$ E_{p} = \{p\} \times F_{p}, $$ para algunos $F_{p} \cong F$ es decir, el espacio total es la unión disjunta de la colección $\{F_{p}\,\colon \,p \in M\}$ . ¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

Realmente no se puede escribir $E_p = \{ p \} \times F_p$ porque $E_p$ es un subconjunto de $E$ y no hay garantía de que sea de la forma $\{ p \} \times F_p$ para algunos $F_p$ simplemente porque no tiene que parecer un producto (un conjunto). Es cierto que a menudo se construye un conjunto sobre $M$ definiendo $E$ ser $E = \bigcup_{p \in M} \{ p \} \times F_p$ donde cada $F_p$ es difeomorfo a $F$ y luego topologizar $E$ de forma adecuada, pero ésta es sólo una forma de construir un haz de fibras.

Por ejemplo, piense en el mapa $\pi \colon S^1 \rightarrow S^1$ dado por $\pi(z) = z^2$ . Se trata de un mapa de cobertura en el que cada fibra tiene dos puntos, por lo que se puede considerar como un haz de fibras con una fibra típica (digamos) $F = \{ 7, 9 \}$ . La fibra $\pi^{-1}(1)$ es el conjunto $\{-1, 1 \}$ pero no tiene sentido decir $\{ -1, 1 \} = \{1 \} \times \{ a, b \}$ .