Demostrar eso si todos $aba=bab$ y $|G|=1$.

Question

Que $G$ sea un grupo que todos $a,b \in G$ tenemos $aba=bab$. Demostrar que $|G|=1$.

Así que tengo que demostrar que $G =\left\{e \right\} $. Porque para cualquier $a,b \in G$ tenemos $aba=bab$, que $b=e$. Entonces $aea=eae$ % que $a^2 = a$por lo tanto, $a = e$. Porque es $a$ cualquier tenemos $G=\left\{e \right\} $.

¿Funciona?

Answer 1

La prueba funciona, pero carece de descerebrados símbolo empujar, por lo que ofrecemos dos pruebas por símbolo tratando de restablecer el equilibrio del mundo.

Prueba I. Escriba $abab$ de dos maneras: $babb=aaba$. Entonces: $$aaba=b(ab)b=abbab$$ And cancel to get $aba=bbab$, but $aba=bab$, so $b=e$. $\square$

Prueba II. Comenzamos con la ecuación natural $$baab=aabaa=ababa=babba$$ Now, cancel $ba$ on the left, so that $ab=bba$. But $$aba=bab\implies ab=baba^{-1}$$ Therefore, $bab=bbaa$ and so $ab=baa$ as well. This means $bba=baa$; cancelling on both left and right, $b=a$. Since $a,b$ are abitrary, we are done. $\square$

Answer 2

Hacerla más detalle:

G es un grupo => e $\in$ G. es decir, | G | > = 1

x $\in$ G

1, si $x^{-1}$ no x: | G | > = 3 (al menos x, $x^{-1}$, e)

$x^{-1}$x$x^{-1}$ = x$x^{-1}$x, so x=$x^{-1}$

Es decir, para todos x $\in$ G, x = $x^{-1}$

2, para cualquier x $\in$ G, desde x = $x^{-1}$: x = exe = xex = xe $x^{-1}$ = e. tan x = e

Así que G = {e} | G | = 1

QED