Intento demostrar que el operador de proyección definido como: \begin{equation} P(z) := argmin_{x \in \mathcal{C}} \frac{1}{2}\|x-z\|^2_2 \end{equation} no es expansivo. Aquí $\mathcal{C}$ es un conjunto cerrado y convexo no vacío. Para demostrar esto, procedo como: \begin{equation} \|P(z_1) - P(z_2)|| =\|x_1-x_2\| \end{equation} donde $x_1, x_2$ son puntos del conjunto $\mathcal{C}$ . Ahora, sé que $\|x_1-x_2\| \leq \|z_1-z_2\|$ . Pero, ¿cómo demostrar esta última parte? ¿Se puede utilizar el lema JL de alguna manera?
Respuesta
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Como en tu post, deja que $z_1$ , $z_2$ sean puntos arbitrarios.
Recordemos la caracterización variacional del operador de proyección sobre conjuntos no vacíos, cerrados y convexos:
$$ \langle z_1 - P(z_1), x- P(z_1) \rangle\leq 0 \; \forall \; x \in C $$
Ahora observe también que por definición $P(z_2) \in C$ así obtenemos:
$$ \langle z_1 - P(z_1), P(z_2)- P(z_1) \rangle\leq 0 $$
Del mismo modo también obtenemos:
$$ \begin{aligned} &\langle z_2 - P(z_2), P(z_1)- P(z_2) \rangle\leq 0 \\ \Rightarrow &\langle P(z_2) - z_2, P(z_2)- P(z_1) \rangle\leq 0 \end{aligned} $$
Sumando estas dos desigualdades, reordenando y aplicando finalmente la desigualdad de Cauchy-Schwarz, obtenemos:
$$ \begin{aligned} \langle P(z_2) - P(z_1), P(z_2)- P(z_1) \rangle &\leq \langle z_2 - z_1, P(z_2)- P(z_1) \rangle \\ & \leq \vert\vert z_2 - z_1 \vert\vert \; \vert\vert P(z_2) - P(z_1) \vert\vert \end{aligned} $$
Así:
$$ \begin{aligned} &\vert\vert P(z_2) - P(z_1) \vert\vert^2 \leq \vert\vert z_2 - z_1 \vert\vert \; \vert\vert P(z_2) - P(z_1) \vert\vert \\ \Rightarrow &\vert\vert P(z_2) - P(z_1) \vert\vert \leq \vert\vert z_2 - z_1 \vert\vert \end{aligned} $$
