Calcular el campo de división y el grupo de Galois de $x^4 - 5$ en $\mathbb{Q} (\sqrt{5})$ .

Question

Creo que el campo de división se encuentra fácilmente de la siguiente manera.

$x^4 - 5 = (x^2 - \sqrt{5})(x^2 + \sqrt{5})$ por lo que el campo de división es $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{5},i)$ ¿o es incorrecto?

Una vez obtenido esto, ¿cómo encontrar el grupo de Galois de este polinomio sobre $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ ?

Gracias.

Answer 1

Hace tiempo que no hago teoría de Galois, pero aquí va un intento.

Estoy de acuerdo con su identificación del campo de división. Para encontrar el grupo de Galois sobre $\mathbb Q(\sqrt 5)$ basta con encontrar el grupo de Galois sobre $\mathbb Q$ y utilizar la correspondencia de Galois. Así que, por diversión, vamos a trabajar todo el grupo de Galois sobre $\mathbb Q$ .

El campo de división es de orden $8$ . Tenemos los automorfismos $$\alpha: \sqrt[4] 5 \rightarrow i\sqrt[4] 5,$$ $$\beta: i\rightarrow -i,$$ y juntos generan un grupo de orden 8, por lo que generan todo el grupo de Galois. Queda por averiguar de qué grupo de orden 8 se trata. Existen 5 grupos de orden 8 . Comprobemos si $\alpha$ y $\beta$ conmutan, por lo que podemos determinar si el grupo es abeliano. ¡No lo son! Así que comprobemos si satisfacen la generación de relaciones para nuestro grupo no abeliano de orden favorito $8$ el grupo diedro. De hecho, no es difícil ver $$\beta \alpha \beta = \alpha^3.$$

Basta con comprobarlo en los dos elementos generadores $(i, \sqrt[5]{5})$ . Aplicación de $\alpha^3$ cambia $\sqrt[4]{5}$ a $-i\sqrt[4]{5}$ dejándonos con $(i, - i\sqrt[4]{5})$ . Puede comprobarlo aplicando $\beta\alpha\beta$ (¡en ese orden!) hace lo mismo.

Por tanto, el grupo de Galois es $D_4$ (o $D_8$ según su notación). Esto también puede verse geométricamente. Las raíces del polinomio forman un cuadrado en el plano complejo (con vértices en $\sqrt[4]{5}, i\sqrt[4]{5}, -\sqrt[4]{5}, -i\sqrt[4]{5}$ ), y se puede ver que $\alpha$ los gira y $\beta$ los invierte a través del eje real.

Ahora, utilizando la correspondencia de Galois, buscamos el subgrupo que fija $\mathbb Q(\sqrt 5)$ . Se trata del subgrupo generado por $\alpha^2$ y $\beta$ . Recibo $\mathbb Z_2\times \mathbb Z_2$ para el grupo de Galois sobre $\mathbb Q(\sqrt 5)$ ya que $\alpha^2$ y $\beta$ viaje al trabajo (¡mira esto!).

En retrospectiva, parece más sencillo limitarse a señalar que $\alpha^2$ y $\beta$ son automorfismos conmutativos de orden 2 en su grupo de Galois deseado (de orden 4), por lo que generan el grupo entero.