¿Por qué utilizamos el potencial de Coulomb para el átomo de hidrógeno?

Question

Al resolver la ecuación de Schrodinger para el átomo de hidrógeno, el potencial de Coulomb $V = \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r}$ se utiliza.

1. El potencial de Coulomb procede de la electrodinámica clásica, así que ¿por qué lo utilizamos al resolver el átomo de hidrógeno no relativista?

2. ¿Se utiliza también el potencial de Coulomb para resolver el átomo de hidrógeno en mecánica cuántica relativista?

Answer 1

Tú dirás:

El potencial de Coulomb procede de la electrodinámica clásica

pero en realidad el potencial de Coulomb es predicho por la electrodinámica cuántica como un límite de baja energía. La teoría cuántica de campos describe las interacciones entre partículas cargadas como el intercambio de partículas virtuales, y no es inmediatamente obvio que conduzca a una ley del cuadrado inverso. Sin embargo, si se observa la dispersión entre, por ejemplo, dos electrones y se calcula el límite de baja energía, el resultado es el potencial de Coulomb. Encontrarás el cálculo en la mayoría de los libros de texto de QFT, aunque es probable que sea completamente opaco para los no expertos.

Así que esperamos que el potencial de Coulomb sea una excelente aproximación siempre que las energías implicadas sean bajas. Como guía aproximada, esperamos que los efectos relativistas sean importantes cuando las energías sean comparables a la masa en reposo de las partículas cargadas, de modo que para los electrones esperamos desviaciones de la ley de Coulomb a energías de alrededor de 1MeV. Si nos fijamos en un átomo de hidrógeno, el orbital de menor energía es de sólo 13,6eV, es decir, aproximadamente un factor 100.000 veces menor que la energía relativista, y por eso podemos utilizar el potencial de Coulomb sin preocuparnos.

Los átomos más pesados, por ejemplo los actínidos, tienen $1s$ energías de electrones superiores a 0,1MeV, y para estos átomos las correcciones relativistas son realmente significativas. Sin embargo, siguen siendo lo suficientemente pequeñas como para que comencemos con una descripción coulómbica simple y luego tratemos los efectos relativistas como perturbaciones.

Answer 2

¿Se utiliza también el potencial de Coulomb para resolver el átomo de hidrógeno en mecánica cuántica relativista?

Sí, el Coulomb potencial existe en la solución del átomo de hidrógeno con la ecuación de Dirac, que está formulada en el marco relativista.

Ahora es el momento de especializarse en el átomo de hidrógeno para el que

$$\frac{V}{\hbar c}=-\frac{Z\alpha}{r}$$

(más de la mitad del artículo.)

El potencial de Coulomb es un hecho experimental. Que tenga éxito en la descripción de las interacciones de la física atómica demuestra que sigue siendo un hecho experimental.

Answer 3

No, es un enfoque llamado Mecánica cuántica semiclásica. Mezclan la ecuación de Schrödinger en la que las partículas cuánticas interactúan con los potenciales clásicos, para ver qué hacen los cálculos. Y resulta que da buenos resultados. Así que, aunque tenga fallos, es lo suficientemente predictiva como para considerarla buena. Por ejemplo, ¡predice la estructura fina del hidrógeno!