resolver una EDP de primer orden: $u_x+2x u_t=2x$

Question

Vuelvo con otro problema de EDP :D
Quiero resolver lo siguiente: \begin{cases} u_x+2x u_t=2x & x>0,t>0\\ u(0,t)=u(x,0)=1 \end{cases}

He cambiado las variables: \begin{cases} s=x\\ r=x^2-t \end{cases} y luego, $$ u_x=\frac{\partial u}{\partial s}\frac{\partial s}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x}=u_s+2x u_r $$ $$ u_t=\frac{\partial u}{\partial s}\frac{\partial s}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial t}=-u_r $$ por lo que tenemos $$ u_s+2x u_r-2xu_r=2x \quad\Rightarrow\quad u_s=2s $$ $$ \Longrightarrow \qquad u(s,r)=s^2+\phi(r) $$ Ahora con $x,t$ : $$ u(x,t)=x^2+\phi(x^2-t) $$

$$ u(0,t)=\phi(-t)=1 \quad,\quad u(x,0)=x^2+\phi(x^2)=1 $$ Cómo encontrar $\phi$ ¿Es correcta esta solución?

Answer 1

Permítanme reescribir el problema varias veces, en primer lugar, me gustaría llamar a $u_t = p, u_x = q, u = z,$ y escribir la EDP como $$F(p,q,z,x,t) := p + \frac{q}{2x} - 1 = 0$$

Podemos aplicar ciegamente el método de las características para resolver a lo largo del $t = 0$ límite primero: \begin{align} \frac{dx}{ds} = \partial_q F &= \frac{1}{2x}; \;\; x(r,s=0) = r\\ \frac{dt}{ds} = \partial_p F &= 1; \;\;t(r,s = 0) = 0\\ \frac{dz}{ds} = p\partial_p F + q\partial_q F &= 1; \;\;z(r,s = 0) = 1\\ \end{align} Podemos resolverlos sin muchos problemas, $t = s, \; x^2 - t = r^2$ así que $u(x,t) = z(r,t) = t + 1,$ para las características originadas en el $t = 0$ límite.

Podemos hacer exactamente lo mismo para las características que comienzan en el $x = 0$ límite, a saber \begin{align} \frac{dx}{ds} = \partial_q F &= \frac{1}{2x}; \;\; x(r,s = 0) = 0\\ \frac{dt}{ds} = \partial_p F &= 1; \;\;t(r,s = 0) = r\\ \frac{dz}{ds} = p\partial_p F + q\partial_q F &= 1; \;\;z(r,s = 0) = 1\\ \end{align} Resolviendo esto, de nuevo tenemos $x^2 = s, \; t = r + s,$ y $z(r,s) = s + 1,$ así que $u(x,t) = x^2 + 1$ para las características procedentes del $x = 0$ límite.

La respuesta parece un poco extraña, el valor de $u$ crece con respecto al tiempo o al espacio en función de la característica en la que se encuentre. Las ecuaciones de las características procedentes de $x= 0$ vienen dadas por $r = x^2 - t$ y de $t = 0$ , $r^2 = x^2 - t.$ Dado que la respuesta parece no depender de $r$ en cualquier caso, parece que la única curva en la que la EDP tiene solución es cuando $x^2 - t = 0,$ donde coinciden los datos iniciales. En cualquier otro lugar, hablar de "la solución" no tiene sentido, al menos para mí.