La definición de "grupo de Lie" suele restringirse a una variedad lisa. Si, en cambio, definimos un "grupo de Lie" como una variedad topológica en la que la multiplicación y la inversión son continuas, ¿es la variedad necesariamente lisa? ¿Es única la estructura lisa si queremos un grupo de Lie liso?
Creo que la respuesta es sí, ya que la estructura de un grupo Lie conexo viene determinada por el álgebra de Lie, pero mis intentos de búsqueda han fracasado.
Un grupo de Lie es, por definición, un grupo interno a la categoría de las variedades lisas. Así que no tiene sentido preguntar por grupos de Lie no lisos, igual que no tiene sentido preguntar por un anillo que no tenga un grupo abeliano subyacente.
La pregunta correcta (que creo que es la esencia de su pregunta) es cómo saber cuándo un grupo topológico tiene una estructura lisa única que lo convierte en un grupo de Lie. Una respuesta a esto es que todo grupo topológico localmente compacto y localmente contractible tiene una estructura de grupo de Lie única (Hofmann-Neeb arXiv:math/0609684). En concreto, esto significa que si se sabe que un grupo topológico es una variedad topológica, entonces tiene una estructura de grupo de Lie única.
Este Pregunta MO analiza este y otros hechos.
Véase también: Quinto problema de Hilbert ...
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