Quiero calcular el área de la superficie que limita el sólido $$K=\left\{(x,y,z)\in R^3\,\mid\, x^2+y^2 \leq\frac{1}{z^2}, 1<z<3\right\}$$
Estoy atascado con la superficie diferencial que debo considerar para poder resolver $S=\iint dS$ .
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Kuifje
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Así es como yo lo haría:
La superficie puede parametrizarse del siguiente modo \begin{cases} x=x\\ y=y\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(x,y)\in D=\{(x,y)\;|\;\frac{1}{9}\le x^2+y^2\le 1\}\\ z=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\\ \end{cases}
Puedes trazar esta superficie y su dominio $D$ con WolframAlpha:
Ahora, la superficie viene dada por $$ A=\iint_D ||r_x\times r_y ||\; dA = \iint_{\{(x,y)\;|\;\frac{1}{9}\le x^2+y^2\le 1\}} \sqrt{ \frac{x^2+y^2+(x^2+y^2)^3}{(x^2+y^2)^3}}\; dA $$
Pasando a coordenadas polares se obtiene: $$ \boxed{ A=\int_0^{2\pi}\int_{1/3}^1\sqrt{r^{-2}+r^2}\; drd\theta \approx 7.6030 } $$
Alternativamente puedes proceder de la siguiente manera: \begin{cases} x=\frac{\cos\theta}{z}\\ y=\frac{\sin\theta}{z}\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad0\le \theta\le 2\pi, \; 1\le z\le 3\\ z=z\\ \end{cases} $$ A=\iint_{\{(\theta,z)|0\le\theta\le 2\pi, \; 1\le z\le 3\}} ||r_{\theta}\times r_z ||\; dA $$ Calculando la integral se obtiene $$ \boxed{A=\int_0^{2\pi}\int_1^3\sqrt{z^{-2}+z^{-6}}\;dzd\theta \approx 7.6030} $$
Obsérvese también que utilizando el cambio de variables $z=\frac{1}{r}$ (es decir, $dz=\frac{-dr}{r^2}=-z^2dr$ ): $$ \int_{1/3}^1\sqrt{r^{-2}+r^2}\; dr = \int_1^3\sqrt{z^{-2}+z^{-6}}\;dz $$
grjj3
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Kuifje se pregunta en los comentarios cómo calcular la superficie utilizando la parametrización cilíndrica $r(s,t)=t^{-1}$ , $\theta(s,t)=s$ , $z(s,t)=t$ para $(s,t)\in(0,2\pi)\times(1,3)$ .
Admito que este enfoque es difícil de encontrar en la mayoría de los textos de cálculo multivariable (siéntase libre de especular por qué es más probable encontrarlo en un libro de física), pero el procedimiento es el mismo: cruzamos los vectores tangentes para obtener el elemento normal de la superficie, y luego integramos su magnitud sobre la región especificada en $(s,t)$ espacio. Hay dos inconvenientes. En primer lugar, el vector de posición en coordenadas cilíndricas no es $r\mathbf{\hat{r}}+\theta\boldsymbol{\hat{\theta}}+z\mathbf{\hat{z}}$ sino $r\mathbf{\hat{r}}+z\mathbf{\hat{z}}$ . (Del mismo modo, el vector de posición en coordenadas polares no es $r\mathbf{\hat{r}}+\theta\boldsymbol{\hat{\theta}}$ sino simplemente $r\mathbf{\hat{r}}$ .) En segundo lugar, escribir los vectores tangentes no es tan sencillo como en coordenadas cartesianas, porque los vectores base en coordenadas cilíndricas cambian de un punto a otro. Pero éstas son características importantes de los sistemas de coordenadas curvilíneas, por lo que es importante dominarlas.
Daré el argumento para una parametrización general $\mathbf{u}(s,t)=r\mathbf{\hat{r}}+z\mathbf{\hat{z}}$ donde $r$ , $\theta$ y $z$ dependen de $s$ y $t$ y luego aplicarlo al caso especial anterior.
Diferenciando parcialmente el vector de posición con respecto a $s$ y $t$ da nuestros vectores tangentes
$$\mathbf{u}_s=r_s\mathbf{\hat{r}}+r\color{red}{\frac{\partial\mathbf{\hat{r}}}{\partial s}}+z_s\mathbf{\hat{z}}+z\color{red}{\frac{\partial\mathbf{\hat{z}}}{\partial s}}$$
y
$$\mathbf{u}_t=r_t\mathbf{\hat{r}}+r\color{blue}{\frac{\partial\mathbf{\hat{r}}}{\partial t}}+z_t\mathbf{\hat{z}}+z\color{blue}{\frac{\partial\mathbf{\hat{z}}}{\partial t}}$$
Para calcular las derivadas parciales de los vectores de base con respecto a $s$ y $t$ (en rojo y azul), debemos utilizar la regla de la cadena. Sin pérdida de generalidad, ilustro sólo para $s$ :
$$\color{red}{\frac{\partial\mathbf{\hat{r}}}{\partial s}}=\frac{\partial\mathbf{\hat{r}}}{\partial r}r_s+\frac{\partial\mathbf{\hat{r}}}{\partial\theta}\theta_s+\frac{\partial\mathbf{\hat{r}}}{\partial z}z_s$$
y
$$\color{red}{\frac{\partial\mathbf{\hat{z}}}{\partial s}}=\frac{\partial\mathbf{\hat{z}}}{\partial r}r_s+\frac{\partial\mathbf{\hat{z}}}{\partial\theta}\theta_s+\frac{\partial\mathbf{\hat{z}}}{\partial z}z_s$$
Pero en coordenadas cilíndricas tenemos $\frac{\partial\mathbf{\hat{z}}}{\partial r}=\frac{\partial\mathbf{\hat{z}}}{\partial\theta}=\frac{\partial\mathbf{\hat{z}}}{\partial z}=\mathbf{0}$ y $\frac{\partial\mathbf{\hat{r}}}{\partial r}=\frac{\partial\mathbf{\hat{r}}}{\partial z}=\mathbf{0}$ mientras que $\frac{\partial\mathbf{\hat{r}}}{\partial\theta}=\boldsymbol{\hat{\theta}}$ Así que
$$\frac{\partial\mathbf{\hat{r}}}{\partial s}=\theta_s\boldsymbol{\hat{\theta}},\,\,\frac{\partial\mathbf{\hat{z}}}{\partial s}=\mathbf{0}$$
Sustituyendo en nuestras expresiones para los vectores tangentes, tenemos
$$\boxed{\mathbf{u}_s=r_s\mathbf{\hat{r}}+r\theta_s\boldsymbol{\hat{\theta}}+z_s\mathbf{\hat{z}}}$$
y
$$\boxed{\mathbf{u}_t=r_t\mathbf{\hat{r}}+r\theta_t\boldsymbol{\hat{\theta}}+z_t\mathbf{\hat{z}}}$$
Esto puede parecer mucho trabajo, pero para alguien versado en análisis vectorial, es de conocimiento común y se puede buscar fácilmente.
Para el caso especial $r(s,t)=t^{-1}$ , $\theta(s,t)=s$ y $z=t$ obtenemos
$$\mathbf{u}_s=t^{-1}\boldsymbol{\hat{\theta}},\,\,\mathbf{u}_t=-t^{-2}\mathbf{\hat{r}}+\mathbf{\hat{z}}$$
El cruce de estos da nuestro elemento de superficie
$$\mathbf{u}_s\times\mathbf{u}_t=t^{-1}\boldsymbol{\hat{\theta}}\times\big(-t^{-2}\mathbf{\hat{r}}+\mathbf{\hat{z}}\big)=t^{-1}(\underbrace{\boldsymbol{\hat{\theta}}\times\mathbf{\hat{z}}}_{=\mathbf{\hat{r}}})-t^{-3}(\underbrace{\boldsymbol{\hat{\theta}}\times\mathbf{\hat{r}}}_{=-\mathbf{\hat{z}}})=\boxed{t^{-1}\mathbf{\hat{r}}+t^{-3}\mathbf{\hat{z}}}$$
La magnitud de este vector es $\sqrt{t^{-2}+t^{-6}}$ e integrando esta función en la región $(s,t)\in(0,2\pi)\times(1,3)$ da nuestra superficie, el mismo resultado que la segunda aproximación de Kuifje:
$$\boxed{\int_0^{2\pi}\int_1^3\sqrt{t^{-2}+t^{-6}}\,dt\,ds\approx 7.6030}$$
