¿Cómo es posible que los axiomas no sean siempre ciertos?

Question

Estoy leyendo este libro: https://www.amazon.com/Learning-Reason-Introduction-Logic-Relations/dp/047137122X/ref=sr_1_1?dchild=1&keywords=learning+to+reason&qid=1584305939&sr=8-1 y en la página 193 dice:

"Los axiomas sirven como fundamento de verdad de ese sistema concreto. Si ese sistema no se ajusta a nuestras necesidades para un fin concreto, podemos utilizar otra pizarra de axiomas y construir otro sistema axiomático. Así pues, los axiomas son verdades relativas. Un axioma en un sistema no es necesariamente cierto en otro sistema".

dando un ejemplo, un poco vago, diciendo:

"Hasta el siglo XIX se creía que los postulados de Euclides eran verdades absolutas [ ] De esta fe incuestionable en los cinco axiomas de Euclides surgió una imagen geométrica de nuestro universo con líneas rectas que viajaban a través de distancias cósmicas, líneas rectas que se comportaban como se percibía que se comportaban aquí, en el Planeta Tierra. La evidencia científica actual, sin embargo, sugiere que nuestra visión del universo como euclidiano puede estar anticuada.."

Todavía no entiendo cómo algunos axiomas pueden ser falsos en otro sistema, ¿podrían dar algunos ejemplos sencillos de cómo un axioma puede ser verdadero en un sistema y falso en otro? (por favor, simple, estoy empezando a aprender matemáticas)

Answer 1

Puede ser útil pensar en las matemáticas como un juego. Los axiomas no tienen por qué tener ningún significado en el mundo real (aunque a menudo sí lo tienen), son simplemente un conjunto de reglas que nos permiten jugar a nuestro juego. Manipulamos los axiomas para demostrar teoremas.

El ejemplo de la geometría es concreto y relativamente fácil de entender. El postulado de las paralelas de los axiomas geométricos de Euclides establece que para cualquier punto y cualquier recta que no pase por ese punto, hay exactamente una recta que pasa por el punto y es paralela a la otra recta. Esto funciona para la geometría en la que los puntos y las rectas de un plano tienen su significado habitual.

Sin embargo, digamos que cambiar la definición de lo que son un punto y una recta. Supongamos que en lugar de un plano trabajamos sobre la superficie de una esfera. Lo que llamamos "punto" es ahora un par de puntos exactamente opuestos en la esfera, y una "recta" es un gran círculo en la esfera (como un ecuador). Seguimos diciendo que dos "líneas" son paralelas si no se cruzan. Pero resulta que no hay "líneas" paralelas cuando utilizamos esta definición. Por tanto, el postulado de las paralelas se convierte en: "Dado un punto y una recta que no pasa por ese punto, no existe ninguna recta que pase por el punto que sea paralela a la recta original". Por tanto, el postulado de las paralelas de Euclides ya no es cierto. Contradice directamente el nuevo axioma. Pero el nuevo axioma no sería cierto en el plano euclídeo.

Pero tenemos mucha más libertad que simplemente cambiar la interpretación. Hasta cierto punto, tenemos la libertad de empezar con los axiomas que queramos, aunque algunos son más útiles que otros. Entonces, en particular, la negación de esos axiomas no es "verdadera", o al menos no es demostrable a partir de los axiomas (a menos que la teoría sea inconsistente). "Verdadero" y "demostrable" resultan ser conceptos distintos, incluso si tus axiomas tienen una interpretación en el mundo real.