Descripción de los monomorfismos y epimorfismos en la categoría de conjuntos múltiples

Question

Considere la categoría $\mathbf{MSet}$ de conjuntos múltiples definidos como sigue. Los objetos serían los pares de $(S, \sim_S)$ donde $S$ es un conjunto y $\sim_S$ es una relación de equivalencia en $S$ . Los morfismos serían entonces las funciones de conjunto habituales con el requisito adicional de preservar la relación.

Consideremos ahora, por ejemplo, los monomorfismos en esta categoría. ¿Cómo podríamos describirlos en términos (multi)set-teóricos? Parece que, en efecto, deberían ser funciones inyectivas (igual que en la habitual $\mathbf{Set}$ ). Pero, ¿hay alguna estructura adicional que me esté perdiendo?

Parece natural que los monomorfismos preserven la relación "hacia atrás" (de modo que para cualquier monomorfismo $f : A \rightarrow B$ si $f(a_1) \sim_B f(a_2)$ entonces $a_1 \sim_A a_2$ ), pero no he podido demostrarlo. ¿Es así? No considera $A$ el conjunto $\{ a, b, c \}$ con $\sim_A$ siendo el cierre reflexivo transitivo de $a \sim_A b$ y B el conjunto $\{ 1, 2, 3 \}$ donde cada par de elementos pertenece al $\sim_B$ . $f$ tal que $f(a) = 1; f(b) = 2; f(c) = 3$ es claramente un monomorfismo, pero no preserva $2 \sim_B 3$ .

Answer 1

Primero vamos a explicar qué significa preservar la relación de equivalencia. Supongo que significa que si $x\sim y$ entonces $f(x)\sim f(y)$ .

Monomorfismos

Obsérvese que los monomorfismos se preservan mediante functores adjuntos derechos. Prueba del enunciado dual en pilas, actualmente Proposición 4.5.

Sea $U:\newcommand\MSet{\mathbf{MSet}}\MSet \to \newcommand\Set{\mathbf{Set}}\Set$ sea el functor olvidadizo, $U(S,\sim_S)=S$ .

Afirmo que el functor $L:\Set\to \MSet$ definido por $LS = (S,=_S)$ es adjunto por la izquierda a $U$ .

Esto es más o menos inmediato, ya que si $(T,\sim_T)\in \MSet$ (que por abuso de notación también llamaré $T$ ), entonces cualquier función $f:S\to T$ respeta la relación de equivalencia en $LS$ por lo que tenemos $$\newcommand\Hom{\operatorname{Hom}}\Hom_\Set(S,UT)=\Hom_\Set(S,T)\simeq\Hom_\MSet(LS,T).$$

Así $U$ preserva los monomorfismos. Por lo tanto, si $f$ es un monomorfismo en $\MSet$ debe ser un monomorfismo en $\Set$ . Por lo tanto, todos los monomorfismos son inyectivos.

También debe quedar bastante claro que si $f$ es una función inyectiva que respeta la relación de equivalencia, entonces va a ser un monomorfismo por la misma razón que es un monomorfismo en $\Set$ .

Epimorfismos

De forma similar a los monomorfismos, las funciones suryectivas que respetan la relación de equivalencia son epimorfismos en $\MSet$ . Para demostrar que estos son todos los epimorfismos sería bueno que el functor olvidadizo tuviera también un adjunto derecho, y de hecho lo tiene.

Sea $RS = (S,S\times S)$ . Entonces, al igual que con el adjunto izquierdo, todas las funciones de un conjunto con una relación de equivalencia a $RS$ respetan las relaciones de equivalencia, por lo que $$\Hom_\Set(US,T)\simeq \Hom_\MSet(S,RT).$$

Editar

Las pruebas anteriores pueden reformularse en lenguaje elemental, y es francamente un poco más limpio (probablemente porque esta vez he pensado bien estas pruebas antes de escribirlas).

La prueba elemental:

Prueba.

En primer lugar, como en el caso anterior, las funciones inyectivas y suryectivas que respetan la relación de equivalencia siguen siendo monomorfismos y epimorfismos respectivamente, por lo que sólo tenemos que demostrar que los monomorfismos (epimorfismos) son inyectivos (suryectivos).

Sea $f:(S,\sim_S)\to (T,\sim_T)$ sea un monomorfismo. Demostraremos que $f$ es un monomorfismo en $\Set$ . Supongamos que tenemos un conjunto $A$ y flechas $a,b : A\to S$ tal que $f\circ a = f\circ b$ . Entonces $a$ y $b$ inducen morfismos $a,b:(A,=_A)\to (S,\sim_S)$ . Así $f\circ a=f\circ b$ como morfismos $(A,=_A)\to (T,\sim_T)$ en $\MSet$ . Entonces, como $f$ es un monomorfismo en $\MSet$ , $a=b$ como morfismos en $\MSet$ lo que significa que $a=b$ como funciones. Así, $f$ es un monomorfismo en $\Set$ .

La prueba cuando $f$ es un epimorfismo es simétrico, pero ahora tenemos funciones paralelas $a,b : T\to A$ e inducen morfismos $(T,\sim_T)\to (A,A\times A)$ esta vez. $\quad\blacksquare$

Answer 2

Estaba haciendo este ejercicio en Algebra: Capítulo 0 de Aluffi. En primer lugar, consideré que un conjunto múltiple era una función $f:S\rightarrow \mathbb{N}_{>0}$ donde S es cualquier objeto de $\textbf{Set}$ . Los morfismos de esta manera son sólo diagramas conmutativos donde m,m' son conjuntos múltiples (por lo que m,m'son funciones $m:S\rightarrow \mathbb{N}_{>0}$ y $m':S'\rightarrow \mathbb{N}_{>0}$ y $\sigma$ es una función de conjunto de S a S' tal que $m=\sigma\circ m'$ ). Entonces si dibujas los diagramas que deben aparecer en la hipótesis para que un morfismo sea un monomorfismo te das cuenta de que $\sigma$ tiene que ser inyectiva. Entonces los monomorfismos son diagramas conmutativos en los que la función que va de S a S' es inyectiva.