Subfondo de una suma directa de haces vectoriales

Question

Que $N$ sea un subfondo vectorial de $M_1 \oplus M_2 \oplus ... \oplus M_k$ donde $M_1, M_2, ..., M_k$ son haces de líneas sobre una curva algebraica suave $X$ . Sea $N_i$ sea la imagen de $N$ bajo la proyección $M_1 \oplus M_2 \oplus ... \oplus M_k \to M_i$ . ¿Es cierto que $N=N_1 \oplus N_2 \oplus ... \oplus N_k$ ?

Answer 1

No. Toma $M_1=M_2=X\times\mathbb{C}$ y $N=\{(x,u,v)\in M_1\oplus M_2=X\times\mathbb{C}^2:u=v\}$ . Entonces, $N_1=M_1$ y $N_2=M_2$ así que $N\neq N_1\oplus N_2$ .