Demostrar si $|x|=mn$ y gcd $(a,m)=1$ entonces $m$ divide $|x^a|$

Question

No entiendo cómo consiguieron $e^{sn}$ de $x^{a|x^a|sn}$ .

Esta solución tampoco es algo que me parezca razonable producir sin influencias. ¿Qué les hizo pensar en multiplicar $|x^a|n$ de ambos lados de la ecuación GCD?

Ahora, traté de probarlo, y terminé probando que $|x^a|=m$ y me preguntaba qué había hecho mal:

Prueba.

$(sn)(a) + (t)(mn)=n\Rightarrow\text{gcd}(a,mn)=n$ .

$$|x^a| = \frac{|x|}{\text{gcd}(a,|x|)} = \frac{mn}{\text{gcd}(a,mn)} = \frac{mn}{n} = m.$$

Answer 1

$Proof.$ $\ \ (sn)(a) + (t)(mn)=n\Rightarrow (a,mn)=n$ .

$|x^a| = \frac{|x|}{(a,|x|)} = \frac{mn}{(a,mn)} = \frac{mn}{n} = m$ .

Correcto es: $ \frac{mn}{(a,mn)} = m \frac{n}{(a,n)}$ es múltiplo de $m$ por $(a,mn) = (a,n)\,$ por $(a,m)=1\,$ y Euclides, y, por supuesto, $\,(a,n)\mid n.$

Answer 2

Desde $|x|=mn,$ así que $x^{mn}=e$ y así $$x^{mn|x^a|t}=(x^{mn})^{|x^a|t}=e^{|x^a|t}=e.$$

También para cualquier elemento $y,$ tenemos $y^{|y|}=e.$ En particular, $(x^a)^{|x|^a}=e$ y así $$x^{a|x|^asn}=\left((x^{a})^{|x^a|}\right)^{sn}=e^{sn}=e.$$

En su intento, observe que $ax+by=c$ sólo implica $\gcd(a,b)\mid c$ y no la igualdad. Así que no se puede concluir $\gcd(a,mn)=n$ pero se puede concluir que $n=k\gcd(a,mn)$ para algunos $k$ y así $|x^a|=\frac{m}{k},$ lo que demuestra la afirmación.