Utilizando Winther resultado puedo terminar la prueba para otros casos. Para ello tenemos que deducir este problema a los racionales.
Según la versión un poco más estricta de Teorema de aproximación de Dirichlet podemos encontrar infinitos pares de fracciones $\left(\frac{p_1}q, \frac{p_2}q\right)$ con la siguiente propiedad:
$$\max\left(\left|a - \frac{p_1}q\right|, \left|b - \frac{p_2}q\right|\right) < q^{-\frac32}.$$
Infinitas significa que podemos hacer $q$ tan grande como queramos, lo elegiremos después. Por último, tomemos $n = q-1$ :
$$ \{n\frac{p_1}{q}\} + \{n\frac{p_2}{q}\} = \{1-\frac{p_1}{q}\} + \{1-\frac{p_2}{q}\} = 2 - \frac{p_1}{q}-\frac{p_2}{q} =\\ = 2 - \{c\} + \left(a - \frac{p_1}{q}\right) + \left(b - \frac{p_2}{q}\right) = 2 - \{c\}+\frac{\alpha}{q}, \alpha \in [-2, 2] $$
También por el teorema de Dirichlet sabemos que $n\left(a - \frac{p_1}{q}\right) < q^{-\frac12}$ y lo mismo con $b$ . Finalmente podemos conseguir:
$$ 2 - \alpha q^{-\frac12} = \{nc\}+\{c\} \leq 1 + \{c\}, \alpha \in [-4, 4] $$
Ahora podemos tomar un tamaño muy grande $q$ y obtener la contradicción.
Editar . De hecho, he omitido una pequeña cuestión, a saber, ¿por qué es cierta la siguiente implicación?
$$ (na - n\frac{p_1}q) < q^{-\frac12} \Rightarrow (\{na\} - \{n\frac{p_1}q\}) < q^{-\frac12} $$
Desgraciadamente, no es cierto en todos los casos, pero en nuestra situación podemos manejarlo. Recuerde que $n = q-1$ . El problema puede ocurrir si hay un $A \in \mathbb{Z}$ (de hecho $A = p_1$ ) tal que
$$ n\frac{p_1}q=(q-1)\frac{p_1}q = p_1 - \frac{p_1}q < A < (q-1)a = na $$
Y también sabemos que la distancia entre $n\frac{p_1}q$ y $na$ menos de $q^{-\frac12}$ . Lo último que debemos mencionar es que $\frac{p_1}q > \frac{a}2 > 0$ desde $\frac{p_1}q$ está cerca de $a \neq 0$ .