Eso no funcionará para probar que es convergente, necesitas que vaya a $0$ no sólo ser más pequeño que $1/2$ . Queremos demostrar $||f_m - f_n||$ es una sucesión de Cauchy bajo el límite uniforme, por lo que converge a alguna $f$ y es continua. Aquí está mi intento:
Prueba:
En primer lugar, demostramos que $$||f_n - f_{n-1}||_{\infty} = \max_{x \in [0,1]} |f_n(x) - f_{n-1}(x)| < \dfrac{1}{2^n} $$
Usamos la inducción (te dejo el caso base), supongamos que es válido para $k = 1, 2, \dots , n$ es decir $$ \, \max_{x \in [0, 1]} |f_{n}(x) - f_{n-1}(x)| \le \frac 1 2 \max_{x \in [0, 1]} |f_{n-1}(x) - f_{n-2}(x)|$$
Ahora bien $x \in [0,\frac 1 3]$
$$\max_{x \in [0, \frac 1 3 ]} |f_{n+1}(x) - f_{n}(x)| = \frac 1 2 \max_{x \in [0, \frac 1 3]} |f_{n}(3x) - f_{n-1}(3x)| $$ $$ \leq \frac 1 4 \max_{x \in [0, \frac 1 3]} |f_{n-1}(3x) - f_{n-2}(3x)| = \frac 1 2 \max_{x \in [0, \frac 1 3]} |f_{n}(x) - f_{n-1}(x)| $$
Editar Te dejo los otros dos casos, el segundo debería ser sencillo y el tercero tiene una línea de pensamiento similar ( $ x \in [1/3, 2/3]$ y $x \in [2/3,1]$ )
De ello se deduce que $$||f_{n+1} - f_{n}||_{\infty} \leq \dfrac{1}{2^n}$$
Ahora, tomemos WLOG, supongamos $m > n$ entonces usando la desigualdad triangular $$||f_m - f_n||_{\infty} \leq ||f_m - f_{m-1}||_{\infty} + ||f_{m-1} - f_{m-2}||_{\infty} + \dots + ||f_{n+1} - f_n||_{\infty}$$ $$ \leq \sum_{k = n}^{m-1} \dfrac{1}{2^k} $$
Como esta última serie es convergente, tenemos que $$\lim_{n,m \to \infty} \sum_{k = n}^{m-1} \dfrac{1}{2^k} = 0$$
Así $f_n$ es una sucesión de Cauchy bajo la $|| \cdot ||_{\infty}$ y esto implica que converge uniformemente a alguna norma (continua) $f$ .
