El teorema de Birkhoff-von Neumann establece que un politopo formado por un conjunto de matrices doblemente estocásticas tiene puntos extremos que son matrices de permutación.
Me pregunto si existe un teorema similar para una matriz de permutación cuyos elementos se sustituyen por algunos valores de $e^{ix}$ .
Se cumple una afirmación similar al teorema de Birkhoff: estas matrices son los puntos extremos del conjunto de matrices para las que el $\ell_1$ de cada fila y columna es $\leq 1$ . Denoto por $K$ este conjunto.
Es evidente que toda matriz de este tipo es un punto extremo en $K$ . A la inversa $A$ sea un punto extremo en $K$ . En $\ell_1$ norma de cada fila y columna debe ser $1$ . Escriba la descomposición polar por entradas, es decir, escriba $A$ como producto $A=U \circ B$ donde $B$ es una matriz bistocástica y $U$ una matriz cuyas entradas tienen módulo $1$ . La matriz $B$ es una matriz bistocástica extrema: si $B=(B_1 + B_2)/2$ para matrices bistocásticas $B_1 \neq B_2$ entonces la ecuación $A = (U \circ B_1+U\circ B_2)/2$ contradice la extremidad de $A$ . Por el teorema habitual de Birkhoff, $B$ es una matriz de permutación y el resultado se deduce.
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