Distancia entre puntos fijos de funciones

Question

Estoy tratando de acotar la distancia de los puntos fijos de dos funciones suponiendo que hay algún límite en la distancia entre las funciones.

En concreto, supongamos $f_1, f_2:[0,1] \rightarrow [0,1]$ son dos funciones continuas (y asuma las condiciones de regularidad que desee) con puntos fijos únicos en $[0,1]$ .

Supongamos también que $\forall x \in [0,1]$ , $|f_1(x)- f_2(x)| \le M$ .

Denotemos los puntos fijos de $f_1$ y $f_2$ como $x^*_1$ y $x^*_2$ respectivamente.

Me interesan los resultados sobre la distancia $|x^*_1 - x^*_2|$ y sobre $|f_1(x^*_1)- f_2(x^*_2)|$ . Cualquier medida de distancia ( $L_1$ , $L_2$ y otros) están bien.

Agradecería referencias a algo similar, o a cómo se llamará este problema.

Gracias,

• Ron

Answer 1

No sé ahora, si por suposiciones sobre $X$ algo se puede decir, pero dudo que el para general $X$ obtendrá una interesante atadura: Considere $X = [0,1]$ y para $\epsilon > 0$ las funciones $f_1, f_2 \colon [0,1] \to [0,1]$ dada por \begin{align*} f_1(x) &= \begin{cases} 0 & x \le \epsilon\\ x-\epsilon & x \ge \epsilon \end{cases} \\ f_2(x) &= \begin{cases} x+\epsilon & x \le 1-\epsilon\\ 1 & x \ge 1 - \epsilon \end{cases} \end{align*} Entonces $f_1$ y $f_2$ son continuas, cumplen $\|f_1 - f_2\|_{\infty} \le 2\epsilon$ y tienen puntos fijos únicos $x_1^* = 0$ , $x_2^* = 1$ . Así, la distancia entre los puntos fijos es lo más grande posible, pero la distancia entre las funciones puede hacerse arbitrariamente pequeña.

Answer 2

Considere $f_1(x) = x + \epsilon \tanh(x - x_1)$ y $f_2(x) = x + \epsilon \tanh(x - x_2)$ en $\mathbb R$ donde $\epsilon > 0$ es arbitraria. Estos tienen puntos fijos únicos $x_1$ y $x_2$ y $|f_1(x) - f_2(x)| < 2 \epsilon$ . Así que tendrá que basar cualquier límite en algo más que $M$ .