Distancia máxima en la métrica del taxi en una red de 2dim con límites periódicos

Question

Estoy buscando la distancia taxativa máxima entre dos puntos en un enrejado 2dim con condiciones de contorno periódicas impuestas.

Taxi Distancia en 2 dimensiones para dos puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ se define como:

$|x_1 - x_2| + |y_1 - y_2| $

Sea una red bidimensional de tamaño $L \times L$ con límites periódicos tales que: $x=L+1=1$ y $y=L+1=1$ por lo que cada punto está contenido en la red.

Supongo que la distancia máxima es $L$ Sin embargo, no estoy del todo seguro.

$Edit$ :

He añadido una foto que ilustra los dos puntos donde creo que estaría la distancia entre ellos $L$ . (El punto azul y la X azul) Puntos donde creo que puede haber distancia $L$

Answer 1

Cuando se utilizan condiciones de contorno periódicas en una red de este tipo, es útil recordar que la red puede, equivalentemente, extenderse en cualquier dirección tanto como sea necesario. La aritmética en una sola dirección sería entonces módulo $L,$ de modo que la distancia se mide por $$d((x_1, y_1),(x_2, y_2))=((x_2-x_1)(\!\!\!\!\!\!\mod L))+((y_2-y_1)(\!\!\!\!\!\!\mod L)). $$ Introduciendo algunos puntos en la imagen incluida en la pregunta se convencerá de que es correcto.

Así, tomando en consideración una sola dirección, vemos que la distancia máxima obtenible en sólo el $x$ dirección tendría que ser $\lfloor L/2\rfloor,$ donde la función suelo es necesaria para manejar la división por un impar $L.$ Lo mismo ocurre en el $y$ dirección, lo que hace que la distancia máxima $$d_{\max}=2\left\lfloor\frac{L}{2}\right\rfloor.$$