¿Cómo se definen con precisión las simetrías?

Question

¿Cómo se simetrías definido con precisión?

En los cursos básicos de física es habitual ver argumentos sobre simetría para derivar algunas ecuaciones. Esto, sin embargo, se hace de una forma un tanto chapucera: "estamos calculando el campo eléctrico en un alambre semicircular en el semiplano superior sobre el origen. Como es simétrico, las componentes horizontales del campo se cancelan y sólo nos queda la componente vertical".

Argumentos como ese parecen muchos. Ahora estoy viendo los cursos de Mínimo Teórico de Susskinds y define una simetría así: "una simetría es un cambio de coordenadas que deja la Lagrangiana sin cambios". Así que si la lagrangiana de un sistema es invariante bajo un cambio de coordenadas, ese cambio es una simetría.

También he oído hablar de grupos para hablar de simetrías en física. He estudiado algo de teoría de grupos hasta ahora, pero no veo cómo los grupos pueden relacionarse con esta noción de simetría de la que habla Susskind, ni la versión chapucera de los cursos básicos.

¿Cómo encajan todas estas ideas? ¿Cómo se define con precisión la simetría para un físico?

Answer 1

¿Qué es una teoría/modelo físico?

Una teoría física dada suele modelarse matemáticamente mediante algún conjunto $\mathscr O$ de objetos matemáticos, y unas reglas que nos dicen cómo se corresponden estos objetos con un sistema físico y nos permiten predecir lo que le ocurrirá a ese sistema.

Por ejemplo, muchos sistemas de la mecánica clásica pueden describirse mediante un par $(\mathcal C, L)$ donde $\mathcal C$ es el espacio de configuración del sistema (a menudo un múltiple), y $L$ es una función de trayectorias en ese espacio de configuración. Este modelo se acompaña entonces de reglas como "los elementos de $\mathcal C$ corresponden a las posibles posiciones del sistema" y "dada una configuración inicial del sistema y su velocidad inicial, las ecuaciones de Euler-Lagrange para $L$ determinar la configuración y la velocidad del sistema para tiempos posteriores".

¿Qué es una simetría?

Si pensamos que la física es una colección de modelos de este tipo, podemos definir un simetría de un sistema como una transformación sobre el conjunto $\mathscr O$ de objetos del modelo tal que el conjunto transformado $\mathscr O'$ de objetos produce la misma física . Nótese que aquí utilizo deliberadamente la expresión un tanto vaga "produce la misma física" porque lo que esa expresión significa depende del contexto. Resumiendo:

Una simetría es una transformación de un modelo que no cambia la física que predice.

Por ejemplo, para el modelo $(\mathcal C, L)$ arriba, una simetría sería una transformación que mapea el Lagrangiano $L$ a un nuevo Lagrangiano $L'$ en el mismo espacio de configuración tal que el conjunto de soluciones de las ecuaciones de Euler-Lagrange para $L$ es igual al conjunto de soluciones de las ecuaciones de Euler-Lagrange para $L'$ . Incluso en este caso, es interesante observar que $L$ no tiene por qué ser invariante bajo la transformación para que esto sea así. De hecho, se puede demostrar que basta con que $L'$ diferir de $L$ mediante una derivada temporal total. Esto plantea un punto importante;

Una simetría no tiene por qué ser una invarianza de un objeto matemático determinado. Existen simetrías de sistemas físicos que modifican los objetos matemáticos que describen el sistema, pero que no alteran la física.

Otro ejemplo para enfatizar este punto es que en electrodinámica clásica, se puede hacer describir el modelo en términos de potenciales $\Phi, \mathbf A$ en lugar de en términos de los campos $\mathbf E$ y $\mathbf B$ . En este caso, cualquier transformación gauge de los potenciales conducirá a la misma física porque no cambiará los campos. Así que si modelamos el sistema con potenciales, veremos que existen transformaciones de los objetos en el modelo que los cambian pero que, sin embargo, conducen a la misma física.

¿Cómo se relacionan los grupos con todo esto?

A menudo, las transformaciones de un modelo que uno considera forman acciones de grupos. A acción de grupo es un tipo de objeto matemático que asocia una transformación sobre un conjunto dado con cada elemento del grupo de tal manera que se conserva la estructura del grupo.

Tomemos, por ejemplo, el sistema $(\mathcal C, L)$ desde arriba. Supongamos que $\mathcal C$ es el espacio de configuración de una partícula que se mueve en un potencial de fuerza central, y $L$ es el Lagrangiano apropiado. Se puede definir una acción $\phi$ del grupo de $G= \mathrm{SO}(3)$ del conjunto de rotaciones $R$ un espacio de trayectorias admisibles $\mathbf x(t)$ en el espacio de configuración de la siguiente manera: \begin{align} (\phi(R)\mathbf x)(t) = R\mathbf x(t). \end{align} Entonces se puede demostrar que el Lagrangiano $L$ del sistema es invariante bajo esta acción de grupo. Por tanto, el nuevo Lagrangiano produce las mismas ecuaciones de movimiento y, por tanto, las mismas predicciones físicas.

A menudo, los objetos que describen un modelo determinado implican un espacio vectorial. Por ejemplo, el espacio de estados de un sistema cuántico es un tipo especial de espacio vectorial denominado espacio de Hilbert. En tales casos, suele ser útil considerar un cierto tipo de acción de grupo denominada _representación de grupos_ . Esto le lleva a uno a estudiar un tema enorme y hermoso llamado el teoría de la representación de grupos.

¿Son los grupos el final de la historia?

Definitivamente no. Es posible que las simetrías sean generadas por otro tipo de objetos matemáticos. Un ejemplo común es el de las simetrías generadas por representaciones de un cierto tipo de objeto matemático llamado álgebra de Lie. En este caso, como en el de los grupos, se puede estudiar la teoría de las representaciones de las álgebras de Lie, que es, a su vez, un enorme y rico campo de las matemáticas.

Incluso esto no es el final de la historia. Hay todo tipo de modelos que admiten simetrías generadas por objetos más exóticos, como en el contexto de la supersimetría, donde se consideran objetos llamados álgebras de Lie graduadas.

La mayor parte de las matemáticas de este material se engloban, en general, bajo el nombre de _teoría de la representación_ .

Answer 2

Hay simetría cuando algo $x$ no cambia bajo alguna transformación $T$ :

$$T(x)=x$$

En un cilindro infinito, hay simetría radial porque si te mueves a altura y radio constantes, ves la misma figura.

En el caso lagrangiano, si cambias las coordenadas, la lagrangiana no cambia. $L(x') =L(x)$

En teoría de grupos, los elementos de grupo representarán algún tipo de transformaciones. Esto tendrá alguna simetría asociada.

Por ejemplo:

• $GL(n,\mathbb{R})$ (grupo de todas las matrices reales) preserva puntos para estar en $\mathbb{R}$ .

• $SL(n,\mathbb{R})$ (grupo de todas las matrices reales con $\det=1$ ) conserva los volúmenes. Recordemos que podemos definir un volumen como determiante de vectores.

• $O(n)$ (grupo de rotación) preserva las distancias (producto punto con una métrica euclidiana).

• Y muchos más...

Y fíjate que hay muchas simetrías que no tienen nada que ver con la Física, como por ejemplo 2125922464947725402112000 symmetries del cubo de Rubik, que se describe mediante la Grupo del cubo de Rubik .

A medida que te sumerjas en la Física, aprenderás muchas más simetrías: difeomorfismos, fijación de gauge, CPT en QFT, teorema de Noether...

Answer 3

Las simetrías tienen, en efecto, un amplio y poderoso impacto en la física, y en esta respuesta sólo podré arañar la superficie del tema, pero intentaré darles una idea del mismo.

En el marco más simple, usted menciona un problema electrostático. En un problema de este tipo, el factor clave son las simetrías geométricas que se aplican a las partículas cargadas. Por ejemplo, si el volumen cargado es simétrico con respecto al plano $z=0$ entonces todo el sistema físico admite esta simetría. En consecuencia, el campo eléctrico respeta la misma simetría. Así, para un punto $r$ situado en este plano, $E(r)$ debe ser igual a su simétrica respecto a dicho plano, lo que impone que su $z$ sea 0.

Vemos aquí un ejemplo en el que una propiedad geométrica, respetada por las causas, se dice que debe ser respetada por los efectos, y nos da una pista sobre las propiedades de dichos efectos.

La formulación más general es, en efecto, la de Susskind, pero hay que considerar que "lagrangiano", en su boca, significa "la ecuación fundamental a la que obedece el sistema". Así que lo que realmente quiere decir es que si una simetría deja inalteradas las ecuaciones que rigen un sistema, entonces se dice que dicho sistema físico respeta dicha simetría. Y de este mero hecho suelen extraerse conclusiones muy profundas (piénsese, por ejemplo, en las fuerzas centrales).

La segunda definición anterior es, en efecto, la misma que en el caso simple anterior: Todo lo que escribí sobre las cargas y el campo eléctrico está contenido en la definición de Susskind, si sustituyes "coordenadas" por "coordenadas espaciales" y "Lagrangiana" por "ecuaciones de Maxwell", que no son más que una formulación más simple de la Lagrangiana en un contexto específico.

Así que, en realidad, lo que se oye en los cursos básicos de física es la definición correcta, pero expresada de forma algo chapucera y aplicada en un contexto restringido.

La teoría de grupos está estrechamente relacionada con las simetrías de los sistemas, ya que todas las operaciones de simetría que no modifican un sistema físico forman un grupo: se puede comprobar que la composición de dos simetrías de este tipo no modifica las ecuaciones del sistema, que la transformación de identidad no modifica las ecuaciones del sistema y que, para cada transformación que no modifica las ecuaciones del sistema, su inversa tampoco las modifica. Así que, naturalmente, estamos tratando con álgebra de grupos. Desempeña un papel crucial en la materia condensada, por ejemplo, porque las simetrías de un cristal determinan las simetrías del potencial en el que se mueven los electrones y, por tanto, las simetrías que dejan inalterado el Hamiltoniano (equivalente a hablar del Lagrangiano o de las ecuaciones de movimiento en un entorno más sencillo). Dado que los niveles de energía de los electrones son los valores propios del Hamiltoniano, esto tiene consecuencias sobre la estructura o dichos niveles de energía: se puede deducir el grado máximo de degeneración de los niveles de energía en el cristal a partir de simples consideraciones de simetría, y los niveles cuyas degeneraciones se levantan si tal o cual simetría se rompe por una restricción externa aplicada.

Me gustaría mencionar la simetría traslacional, que es tan sencilla que a veces se olvida, pero la simetría traslacional para todos los vectores espaciales (en otras palabras, la homogeneidad del espacio) permite demostrar que el momento se conserva, es decir, que una partícula se mueve con una velocidad constante si la masa es constante. Una simetría traslacional más restringida se encuentra en los cristales, donde la simetría traslacional sólo es válida para los vectores de la red subyacente, lo que lleva a conclusiones no menos poderosas con el teorema de Bloch y sus aplicaciones fundamentales en las teorías del transporte y muchas otras áreas de la física de la materia condensada.

Por último, me gustaría subrayar que cuando Susskind dice "coordenadas", no se refiere únicamente a "coordenadas espaciales". La simetría temporal es otra simetría importante. En términos más generales, cualquier coordenada, en el sentido de cualquier coordenada generalizada en función de la cual pueda escribirse el lagrangiano o el hamiltoniano, puede ser objeto de operaciones de simetría.

Como conclusión recomendaría la lectura del primer volumen del curso de física teórica, de Landau y Lifschitz. En los capítulos I.1 a I.9 encontrará hermosas ideas basadas en la simetría.