Prueba $\sum_{r=1}^n\frac{a^s_r}{f'(a_r)} = 0$

Question

Demuestre que para $f(x) = (x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n)$ donde $a_1>a_2>...>a_n$ , $$\sum_{r=1}^n\frac{a^s_r}{f'(a_r)} = 0$$ para $s = 0, 1 ,2, ..., n-2$ .

Me dijeron que tengo que encontrar para probar esto primero $$\frac{x^{n-1}}{f(x)}=\sum_{r=1}^n\frac{\frac{a^{n-1}_r}{f'(a_r)}}{x-a_r} $$ y utilízalo para resolver la pregunta. Pero no sé ni cómo empezar a demostrar ninguna de las dos cosas. Realmente agradecería ayuda para esto.

Answer 1

Sea $R$ sea un número positivo mayor que $\max(|a_1|,|a_n|)$ . Tenemos que

$$ f_s(R) = \oint_{\|z\|=R}\frac{z^s}{f(z)}\,dz $$ por el teorema de Cauchy, no depende de $R$ sino sólo en una suma de residuos. Por otra parte, si $s\leq \deg f(z)-2$ tenemos que $\left|\,f_s(R)\right|\ll \frac{1}{R}$ para grandes $R$ Por lo tanto $f_s(R)\equiv 0$ . Al expresar $f_s(R)$ en términos de residuos, $$ f_s(R) = 2\pi i\sum_{k=1}^{n}\text{Res}\left(\frac{z^s}{f(z)},z=a_k\right) $$ y puesto que $a_1,\ldots,a_k$ son polos simples para $\frac{z^s}{f(z)}$ , $$ \text{Res}\left(\frac{z^s}{f(z)},z=a_k\right) = \lim_{z\to a_k}\frac{z^s(z-a_k)}{f(z)}\stackrel{dH}{=}\lim_{z\to a_k}\frac{s z^{s-1}(z-a_k)+z^s}{f'(z)} = \frac{a_k^s}{f'(a_k)}.$$ La afirmación se deduce fácilmente.

Answer 2

Sea $$F(x)=x^{n-1}-\sum_{r=1}^n\frac{a^{n-1}_r}{f'(a_r)}\frac{f(x)}{x-a_r} $$ Tenga en cuenta que el grado de $F(x)$ es un polinomio de grado $n-1$ y que $$ \frac{f(x)}{x-a_r}\bigg|_{x=a_j}=0 \text{ if }r\neq j, \frac{f(x)}{x-a_r}\bigg|_{x=a_r}=f'(a_r). $$ Ahora $$ F(a_r)=0, r=1,2,\cdots,n $$ lo que significa que $F(x)$ tiene $n$ raíces diferentes. Por lo tanto, hay que tener $F(x)\equiv0$ . Así que $$x^{n-1}=\sum_{r=1}^n\frac{a^{n-1}_r}{f'(a_r)}\frac{f(x)}{x-a_r} $$ o $$\frac{x^{n-1}}{f(x)}=\sum_{r=1}^n\frac{\frac{a^{n-1}_r}{f'(a_r)}}{x-a_r}. $$ Dejar $x=0$ da la identidad para $s=n-2$ . El resto debería ser fácil de manejar y omito el detalle.

Answer 3

Buena prueba xpaul excepto una errata en la primera ecuación para $F(x)$

Así obtenemos $$\frac{x^{n-1}}{f(x)}=x^{n-1}=\sum_{r=1}^n\frac{a^{n-1}_r}{f'(a_r)}\frac{1}{x-a_r}$$

Y podemos conseguir, cuando $x=0$ , $\sum_{r=1}^n\frac{a^{n-2}_r}{f'(a_r)}=0$

Diferencia la primera ecuación, $$\frac{(n-1)x^{n-2}f(x)-x^{n-1}f'(x)}{f^2(x)}=-\sum_{r=1}^n\frac{a^{n-1}_r}{f'(a_r)}\frac{1}{(x-a_r)^2}$$

análogamente, dejando x=0, obtenemos $\sum_{r=1}^n\frac{a^{n-3}_r}{f'(a_r)}=0$

Esto puede continuar hasta la (n-1)ª derivada.