$\int_0^1\int_0^1\binom{\text{something}}{\text{something}}\binom{\text{something}}{\text{something}}\cdot \text{something }dxdy$ con forma cerrada

Question

He calculado una aproximación de integrales como que $$\int_0^1\int_0^1\binom{f(x)}{f(y)}\binom{f(y)}{f(x)}dxdy\tag{1}$$ para funciones sencillas $f(x)$ . No sé si algunos de estos estaban en la literatura o tienen una forma cerrada agradable.

Pregunta . Me gustaría saber cómo crear, si es factible, ejemplos bonitos de integrales dobles de binomios similares a $(1)$ . ¿Sabes cómo calcular un buen ejemplo utilizando diferentes funciones $$\int_0^1\int_0^1\binom{\text{something}}{\text{something}}\binom{\text{something}}{\text{something}}\cdot \text{something }dxdy\,?\tag{2}$$ Si usted conoce un ejemplo de la literatura con una buena forma cerrada, por favor responda a esta pregunta como una solicitud de referencia, entonces voy a tratar de buscar tal literatura y leer el ejemplo. Muchas gracias.

Su forma cerrada puede expresarse como una serie de funciones especiales ( Estoy especialmente interesado en cómo crear un ejemplo de este tipo).

Answer 1

Bueno, en primer lugar puedes darte cuenta de ello:

$$\binom{\text{f}\left(x\right)}{\text{f}\left(y\right)}\cdot\binom{\text{f}\left(y\right)}{\text{f}\left(x\right)}=\frac{\sin\left(\pi\cdot\left(\text{f}\left(x\right)-\text{f}\left(y\right)\right)\right)}{\pi\cdot\left(\text{f}\left(x\right)-\text{f}\left(y\right)\right)}=$$ $$\sum_{\text{k}=0}^\infty\frac{\left(-1\right)^\text{k}\cdot\left(\text{f}\left(x\right)-\text{f}\left(y\right)\right)^{1+2\text{k}}\cdot\pi^{1+2\text{k}}}{\pi\cdot\left(\text{f}\left(x\right)-\text{f}\left(y\right)\right)\cdot\left(1+2\text{k}\right)!}\tag1$$

Así que tomando la integral da:

$$\int_0^1\int_0^1\binom{\text{f}\left(x\right)}{\text{f}\left(y\right)}\cdot\binom{\text{f}\left(y\right)}{\text{f}\left(x\right)}\space\text{d}x\space\text{d}y=$$ $$\int_0^1\int_0^1\frac{\sin\left(\pi\cdot\left(\text{f}\left(x\right)-\text{f}\left(y\right)\right)\right)}{\pi\cdot\left(\text{f}\left(x\right)-\text{f}\left(y\right)\right)}\space\text{d}x\space\text{d}y=$$ $$\int_0^1\int_0^1\sum_{\text{k}=0}^\infty\frac{\left(-1\right)^\text{k}\cdot\left(\text{f}\left(x\right)-\text{f}\left(y\right)\right)^{1+2\text{k}}\cdot\pi^{1+2\text{k}}}{\pi\cdot\left(\text{f}\left(x\right)-\text{f}\left(y\right)\right)\cdot\left(1+2\text{k}\right)!}\space\text{d}x\space\text{d}y=$$ $$\sum_{\text{k}=0}^\infty\frac{\left(-1\right)^\text{k}\cdot\pi^{1+2\text{k}}}{\pi\cdot\left(1+2\text{k}\right)!}\int_0^1\int_0^1\frac{\left(\text{f}\left(x\right)-\text{f}\left(y\right)\right)^{1+2\text{k}}}{\text{f}\left(x\right)-\text{f}\left(y\right)}\space\text{d}x\space\text{d}y\tag2$$

Era demasiado grande para un comentario, sólo una idea.