Las multiplicidades Impares cortan el eje x, Incluso la multiplicidad rebota, ¿Por qué?

Question

Puedo entender por qué sucede en casos simples como x^2 y x^3

En x^2 si los valores de x son +ve o -ve la función siempre dará un valor +ve porque g se eleva al cuadrado
La raíz 0 con multiplicidad 2 sólo toca el gráfico thr

En x^3, cuando los valores de x son +ve la función dará valores +ve y cuando los valores de x son -ve la función dará valores -ve Porque los cubos de +ve son +ve y los cubos de -ve son negativos Por lo tanto la raíz 0 con multiplicidad 3 corta la gráfica

Pero no entiendo por qué ocurre eso en casos más completos en los que hay al menos 2 raíces distintas

Como

(X - 1)(X-1)(X-3)

(X + 2)(X-3)(X -3)(X-3)

¿Podría alguien explicar por qué las multiplicidades pares e Impares actúan de la manera en que lo hacen en los 2 ejemplos anteriores?

Answer 1

Supongamos que $r$ es una raíz del polinomio $p(x)$ . A continuación, puede factorizar $$ p(x) = (x-r)^mq(x) $$ donde $m$ es la multiplicidad de la raíz y $q(r) \ne 0$ . El polinomio $q(x)$ tiene todas las demás raíces de $p(x)$ pero no nos importa cuáles sean.

Entonces, cuando $x$ está cerca $r$ ya sabes $q(x) \ne 0$ y tiene el mismo signo.

Si $m$ es par entonces $(x-r)^m$ es positivo a ambos lados de $r$ para que el gráfico no cruce el $x$ -eje allí. Si $m$ es impar entonces $(x-r)^m$ cambia de signo y la gráfica cruza el eje. (En cualquier caso, el $x$ eje es una tangente - incluso cuando cruza el gráfico).