$B^{-1}$ tiene una entrada positiva por fila si $B$ es invertible y no negativo

Question

Estoy un poco liado con una pregunta del libro "Programación lineal y flujos de red":

Sea $B$ sea una matriz invertible con entradas no negativas. Demostrar que cada fila de $B^{-1}$ tiene al menos una entrada positiva.

He intentado demostrar que los elementos de la diagonal deben ser positivos en $B^{-1}$ al realizar operaciones elementales en $B$ . Pero no pude ir muy lejos...

Answer 1

Pista: si no fuera así, tendríamos una bronca con todos entradas negativas.

Supongamos que esto ocurre en la fila $j$ . Entonces debemos tener $1 = I_{jj} = (B^{-1}B)_{jj} = \sum_{s}B^{-1}_{js}B_{js},$ lo cual es absurdo ya que el lado derecho es negativo (recordemos que por hipotehsis es $B_{js}^{-1}B_{js} \leq 0$ para todos $s$ ).

Answer 2

Buscando una contradicción, supongamos que $B^{-1}$ tiene una fila $r$ cuyas entradas son no positivas. La ecuación $B^{-1}B$ implica que $r\cdot b=1$ para una de las columnas $b$ de $B$ . Dado que cada entrada de $r$ es $\leq 0$ y cada entrada en $b$ es $\geq 0$ se deduce que cada término de $r\cdot b$ es $\leq 0$ . Así $1=r\cdot b\leq 0$ una contradicción.