¿Producto cartesiano de dos colecciones de conjuntos?

Question

Si tenemos $\mathcal{G} = \{\phi, \{0\}, \{1\}, \{1,2\} \},$ sería $\mathcal{G} \times \mathcal{G}$ tienen la forma $\{\phi, (\{0\}, \{0\}), (\{0\}, \{1\}), (\{0\}, \{0, 1\}), \dots \}$ ?

En ese caso, ¿cuál sería un ejemplo de $(w_1, w_2) \in B \in \mathcal{G} \times \mathcal{G}$ ¿ser?

Mi trabajo: Por ejemplo $B = (\{0\}, \{0, 1\})$ . Esto no es un conjunto; por lo tanto, no entiendo cómo se podría tomar un elemento $(w_1, w_2) \in B$ .

P.D.: Estoy cursando ahora Teoría de la Probabilidad y, aunque el curso pasado hice Teoría de la Medida, me está resultando muy difícil. Pero realmente quiero llegar a ser bueno en estas cosas. ¿Me recomendarías algún material de lectura? (Me resulta difícil seguir las clases).

EDITAR: He encontrado esta afirmación en el libro Theory of Probability and Random Processes de Koralov. En la definición 2.1, dice:

Un cilindro de dimensiones finitas es un conjunto de la forma $$A = \{\omega: (\omega_{t_1}, \dots, \omega_{t_k}) \in B \},$$ donde $t_1, \dots, t_k \geq 1$ y $B \in \mathcal{G} \times \dots \times \mathcal{G}$ (k veces).

Answer 1

Casi.

$\emptyset$ no estaría en el producto cartesiano pero $(\emptyset,\emptyset)$ será.

No lo pienses demasiado. $A\times B$ no es más que el conjunto de pares ordenados y un par ordenado no es más que un par de un elemento del primer conjunto y un elemento del segundo.... en orden.

Así que si $\color{blue}{\mathcal{G} = \{\phi, \{0\}, \{1\}, \{1,2\} \}}$ es un conjunto con cuatro elementos y $\color{red}{\mathcal{G} = \{\phi, \{0\}, \{1\}, \{1,2\} \}}$ es el mismo conjunto de cuatro elementos, entonces $\color{blue}{\mathcal{G}}\times \color{red}{\mathcal{G}}$ será un conjunto de los dieciséis pares que se pueden hacer:

$\color{blue}{\mathcal{G}}\times \color{red}{\mathcal{G}}= \{(\color{blue}{\emptyset},\color{red}{\emptyset}),(\color{blue}{\emptyset},\color{red}{\{0\}}),(\color{blue}{\emptyset},\color{red}{\{1\}}),(\color{blue}{\emptyset},\color{red}{\{1,2\}}),$

$\{(\color{blue}{\{0\}}$$ ,\color{red}{\emptyset}),(\color{blue}{\{0\}},\color{red}{\{0\}}),(\color{blue}{\{0\}},\color{red}{\{1\}}),(\color{blue}{\{0\}},\color{red}{\{1,2\}}),$

$\{(\color{blue}{\{1\}}$$ ,\color{red}{\emptyset}),(\color{blue}{\{1\}},\color{red}{\{0\}}),(\color{blue}{\{1\}},\color{red}{\{1\}}),(\color{blue}{\{1\}},\color{red}{\{1,2\}}),$

$\{(\color{blue}{\{1,2\}}$$ ,\color{red}{\emptyset}),(\color{blue}{\{1,2\}},\color{red}{\{0\}}),(\color{blue}{\{1,2\}},\color{red}{\{1\}}),(\color{blue}{\{1,2\}},\color{red}{\{1,2\}})\}$

No lo pienses demasiado.

......

En ese caso, ¿cuál sería un ejemplo de (w1,w2)∈B∈G×G?

Oh.....

Ahora Ya veo por qué lo estabas pensando demasiado. Esa afirmación no tiene sentido.

$B\in \mathcal G \times \mathcal G$ significaría que $B$ es un par ordenado $(J,K)$ donde $J$ es uno de los cuatro conjuntos y $K$ es uno de los cuatro conjuntos: $\emptyset, \{0\}, \{1\}, \{1,2\}$ .

Entonces, si yo dijera $w \in B = (J,K)$ entonces eso significa $w$ es uno de los siguientes $J$ o $K$ .

Así que no tiene sentido. ¿Estás seguro de que la declaración no era:

$(w_1, w_2) = B \in \mathcal G \times \mathcal G$

o tal vez

$(w_1, w_2) \in B \subset \mathcal G \times \mathcal G$

?

Answer 2

$\newcommand{\set}[1]{\left\{ #1 \right\}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} $ Podría ser más fácil de procesar si nombras cada conjunto con una letra, digamos...

$$A = \varnothing \quad B = \set{0} \quad C = \set{1} \quad D = \set{1,2}$$

Entonces $\G = \set{A,B,C,D}$ y $\G^2$ viene dada por

\begin{align*} \G \times \G = \Big\{ &(A,A),(A,B),(A,C),(A,D),\\ &(B,A),(B,B),(B,C),(B,D),\\ &(C,A),(C,B),(C,C),(C,D),\\ &(D,A),(D,B),(D,C),(D,D)\Big\} \end{align*}

A continuación, puede sustituir $A,B,C,D$ con sus definiciones explícitas:

\begin{align*} \G \times \G = \Big\{ &\Big(\varnothing,\varnothing\Big) \; , \;\Big(\varnothing,\set{0}\Big) \; , \;\Big(\varnothing,\set{1}\Big) \; , \;\Big(\varnothing,\set{1,2}\Big),\\ &\Big(\set{0},\varnothing\Big) \; , \;\Big(\set{0},\set{0}\Big) \; , \;\Big(\set{0},\set{1}\Big) \; , \;\Big(\set{0},\set{1,2}\Big),\\ &\Big(\set{1},\varnothing\Big) \; , \;\Big(\set{1},\set{0}\Big) \; , \;\Big(\set{1},\set{1}\Big) \; , \;\Big(\set{1},\set{1,2}\Big),\\ &\Big(\set{1,2},\varnothing\Big) \; , \;\Big(\set{1,2},\set{0}\Big) \; , \;\Big(\set{1,2},\set{1}\Big) \; , \;\Big(\set{1,2},\set{1,2}\Big)\Big\} \end{align*}

Más vagamente,

$$\G \times \G = \Big\{ \text{all possible pairs } (X,Y) \text{ where } X,Y \in \G \Big\}$$

El resultado son pares ordenados de conjuntos. Cuidado con el par ordenado $(\varnothing,\varnothing)$ ; parece pensar que podría ser igual a $\varnothing$ pero recordemos que los pares ordenados tienen una definición formal:

$$(x,y) = \Big\{ \set{x},\set{x,y} \Big\}$$

Debería ver por qué, entonces, $(\varnothing,\varnothing) \ne \varnothing$ .

Por supuesto, $\G^2$ sigue siendo un conjunto, por lo que puedes tomar elementos de él, y esos elementos son pares ordenados. Si decimos $(w_1,w_2) \in \G \times \G$ entonces estamos diciendo $(w_1,w_2)$ es un par ordenado en $\G \times \G$ (y, además, eso significa $w_1 \in \G$ y $w_2 \in \G$ de las definiciones).

Pero, ¿podemos tomar elementos de una $B \in \G \times \G$ en su lugar? Como viste: ¿podemos tomar $(w_1,w_2) \in B$ para $B \in \G \times \G$ ? (Para evitar confusiones, no tiene por qué ser el mismo $B$ como antes).

Tenga en cuenta que $B \in \G \times \G$ puede caracterizarse como conjunto en términos de pares ordenados. Lo mejor sería trabajar con un ejemplo, por ejemplo $B = (\set{1,2},\set{1,2})$ . Entonces

$$B = \Big( \set{1,2},\set{1,2} \Big) = \Big\{ \set{1,2} \; , \; \big\{ \set{1,2},\set{1,2} \big\} \Big\}$$

pero

$$(w_1,w_2) = \Big\{ w_1, \set{w_1,w_2} \Big\}$$

Si $(w_1,w_2) \in B$ significa que $(w_1,w_2)$ está representado por el conjunto $B$ .

Answer 3

El contexto de la definición que das en tu edición es bastante importante. Así, el "producto cartesiano" puede interpretarse de otra manera.

Primero vamos a denotar $\mathcal{F} := \mathcal{G} \times \dots \times \mathcal{G}$ . Si piensa en $\mathcal{F}$ como un $\sigma$ -en el conjunto de potencias del producto cartesiano en lugar del propio producto cartesiano, entonces la expresión

$$(\omega_{t_1}, \dots, \omega_{t_k}) \in B \in \mathcal{F} \ \big(=\mathcal{G} \times \dots \times \mathcal{G}\big)$$ tiene mucho más sentido.

Porque entonces $\mathcal{F}$ es un subconjunto del conjunto de potencias $\mathcal{P}(\mathcal{G} \times \dots \times \mathcal{G})$ y, por tanto, cada miembro $B$ es un subconjunto del producto cartesiano $\mathcal{G} \times \dots \times \mathcal{G}$ .

De hecho, en el contexto de su definición en el libro esta " $\mathcal{G} \times \dots \times \mathcal{G}$ "es, por abuso de notación, una abreviatura del producto $\sigma$ -de $k$ -veces el $\sigma$ -álgebra $\mathcal{G}$ .

A veces se denomina $\mathcal{G} \otimes \dots \otimes \mathcal{G}$ para evitar confusiones con el Producto Cartesiano.

(Y a continuación el libro establece una conexión entre el $k$ -veces Producto $\sigma$ -y el $n$ -veces Producto $\sigma$ -para $k \leq n$ . Como se ha visto aquí en la página 25.)

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Sobre tu Posdata: Suelo recomendar la de Klenke Teoría de la probabilidad que comienza con algo de teoría detallada de las medidas y luego cubre la teoría básica, los procesos estocásticos, las martingalas hasta el cálculo diferencial estocástico. (Además, he aprendido la notación del Producto $\sigma$ -álgebra a partir de ahí).

Pero deberías echar un vistazo a muchos libros para encontrar el que mejor se adapte a ti y a tu clase.

Answer 4

$(a,b)$ es una forma de denotar un elemento del producto cartesiano $A \times B$ donde $a \in A$ y $b \in B$ .

Existen varias maneras es la teoría de conjuntos para definir el par ordenado. Uno habitual es

$$(a,b)= \{\{a\}, \{a,b \}\}.$$

A partir de ahí se puede deducir $\mathcal G \times \mathcal G$ .