El pasado mes de agosto he publicado esto en mathoverflow: http://mathoverflow.net/questions/71856/a-serendipitous-riemann-identity. Voy a mostrar la (ligeramente revisada) de la siguiente ecuación:
$$\zeta (3)=\frac{2\pi^4}{315} \prod _{n=1}^{\infty } \left(\frac{1}{(p_n){}^2-p_n}+1\right)$$
Desde la constante, $\frac{2\pi^4}{315}$ contiene $\pi$, el cual es conocido por ser trascendental, ¿no demuestra esto que $\zeta(3)$ es trascendental?
He calculado el producto a través de la primer millón de números primos y de Mathematica Elemento[producto,Racionales] devuelve True. También, he construido un continuo fracción de 18,500,045 elementos.
El producto converge a http://oeis.org/A082695
Un papel que se utiliza el producto: http://jtnb.cedram.org/cedram-bin/article/JTNB_2004__16_1_107_0.pdf
