¿Cuál es el dominio y el rango de la función dada a continuación?

Question

El gráfico de la función y la definición de la función están aquí: https://www.desmos.com/calculator/p4y97ww37l

Editar En caso de que el enlace anterior no funcione, aquí está la definición de la función:

$$y=\left \lceil x \right \rceil.sin\frac{\pi}{\left \lceil x+1 \right \rceil}$$

También se observan picos en x=(2^n)-1 donde n=1,2,3...

¿Puede alguien dar alguna explicación para los picos observados?

¿Cuál sería también el dominio y el rango de esta función? Por favor, proporcione también un método para encontrarlo sin trazarlo.

Answer 1

Evidentemente, la única razón por la que la función sería indefinida sería una división por cero, es decir, siempre y cuando $x$ no está en $[-1,0)$ se define la función Por lo tanto, el dominio es $$\{x:x<-1 \text{ or } x\geq 0\}.$$

Ahora, la función es constante en cualquier intervalo de la forma $[n,n+1)$ donde $n\in\mathbb Z$ (aunque, de nuevo indefinido cuando $n=-1$ ). Así, una forma de escribir el rango es como

$$\{n\sin(\pi/(n+1)): n\in\mathbb Z \setminus \{-1\}\}.$$

No sé si hay una manera más fácil de describir el conjunto, aunque sin duda podemos ver algunas de sus características. Utilizando el hecho de que $$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1,$$ no es muy difícil ver que $$\lim_{n\rightarrow \pm\infty} n\sin\left(\frac{\pi}{n+1}\right) = \pi.$$ Así, $\pi$ es un punto de agrupación del intervalo, mientras que todos los demás puntos están aislados. Más allá de eso, creo que un gráfico es algo razonable. En la siguiente imagen, vemos el gráfico junto con una parte de la gama trazada como puntos rojos en el $y$ -Eje.