Fórmula de probabilidad para este problema

Question

Por favor, ayúdenme a resolver el siguiente problema. Estoy aprendiendo probabilidad por lo que agradecería un poco de explicación.

Hay dos hombres M1 y M2. Cada hombre tiene dos cubos llamados A y B. El cubo A contiene bloques numerados del 7 al 14. El cubo B contiene números del 7 al 30. El cubo B contiene números del 7 al 30. Ahora M1 y M2 tienen que seleccionar independientemente un bloque numerado de sus respectivos cubos. La probabilidad de seleccionar el cubo A es de 0,6 y la probabilidad de seleccionar el cubo B es de 0,4. Dentro del cubo se pueden elegir todos los bloques numerados con la misma probabilidad. Quiero saber cuál es la probabilidad de que M1 y M2 seleccionen un bloque numerado idéntico.

PD: la selección de un bloque numerado por parte de M1 y M2 es un evento independiente (es decir, M1 y M2 tienen sus propios cubos). Una formulación paso a paso sería muy útil. Gracias

Answer 1

Desea calcular la probabilidad $P(M_1=M_2)$ . Acondicionamiento en $M_1=x$ para $x\in \{7, \ldots, 30\}$ y utilizando el hecho de que los eventos que M1 escoge un número $x_1$ y M2 elige otro número $x_2$ son independiente tienes que $$P(M_1=M_2)=\sum_{x=7}^{30}P(M_1=x \mid M_2=x)P(M_2=x)=\sum_{x=7}^{30}P(M_1=x)P(M_2=x)$$ y como los dos hombres se enfrentan a las mismas circunstancias se tiene además que $$P(M_1=x)=P(M_2=x)$$ para cada $x$ . Así pues, basta con calcular la probabilidad $P(M_1=x)$ .

Por supuesto, si $x \notin \{7,\ldots, 30\}$ entonces es inmediato que $P(M_1=x)=0$ . Para $x \in \{7,\ldots,30\}$ tienes por la Ley de Probabilidad Total que $$\begin{align*}P(M_1=x)&=P(M_1=x\mid A)P(A)+P(M_1=x\mid B)P(B)=\\\\&=\begin{cases}\frac{1}{|A|}\cdot 0.4+\frac{1}{|B|}\cdot 0.6,& \text{if } 7\le x \le 14 \\ \phantom{+}0\cdot 0.4+\frac{1}{|B|}\cdot 0.6,& \text{if } 14< x \end{cases}\end{align*}$$ donde $|A|=8$ y $|B|=16$ denotan el número de elementos de cada cubo. Así, en total $$P(M_1=x)=\begin{cases}\frac{7}{80},& \text{if } 7\le x \le 14 \\ \frac{3}{80},& \text{if } 14< x \\0, & \text{ else }\end{cases}$$ Así $$\begin{align*}P(M_1=M_2)&=\sum_{x}P(M_1=x,M_2=x)=\sum_xP(M_1=x)^2\\&=\sum_{x=7}^{14}\left(\frac{7}{80}\right)^2+\sum_{x=15}^{30}\left(\frac{3}{80}\right)^2=8\left(\frac{7}{80}\right)^2+16\left(\frac{3}{80}\right)^2=\frac{67}{800}=0.08375\end{align*}$$