Verdadero o falso: Si $f$ es continua en $[a, b)$ y en $[b, c]$ entonces $f$ es integrable de Riemann en $[a, c]$ .
No estaba seguro de si el $)$ en $[a,b)$ cambió completamente el problema y lo hizo falso y debería buscar un contraejemplo o si el siguiente intento funcionó.
Desde $f$ es continua en $[a, b)$ entonces $f$ es integrable en $[a, b)$ . Del mismo modo, $f$ es integrable en $[b, c]$ . Por lo tanto, por definición, P $_1$ sea una partición de $[a, b]$ s.t. $U(f, P_1) L(f, P_1) < \frac{\epsilon}{2}$ y $P_2$ sea una partición de $[b, c]$ s.t $U(f, P_2) L(f, P_2) < \frac{\epsilon}{2}$ . Por lo tanto, $P = P_1 \cup P_2$ es una partición de $[a, c]$ . Desde $b$ es el extremo derecho de $P_1$ y el extremo izquierdo de $P_2$ entonces $U(f, P) L(f, P) = U(f, P_1) + U(f, P_2)L(f, P_1)L(f, P_2) = U(f, P_1)L(f, P_1) +U(f, P_2)L(f, P_2)< \frac{\epsilon}{2}+ \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$ .
Así que.., $f$ es integrable en $[a, c]$ .
¿Funciona? O, ¿hay un contraejemplo porque $[a,b)$ no es $[a,b]$ ?
