Que XX ser una pila de Deligne-Mumford y deje XX \to X ser un espacio de móduli. Supongamos que X es lisa. ¿XX es liso? Si no es así, ¿qué es un ejemplo? ¿Qué pasa si XX es de tipo finita sobre C (los números complejos)? ¿Cuáles son las condiciones que podemos poner en XX para hacer este verdadero?
Respuestas
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La respuesta es sí, una singular pila DM puede tener un espacio liso grueso. Sea U=Spec(k[x,y]/(xy)) la Unión de los ejes en A2y considerar la acción de G =Z2 por cambiar los ejes: x→y y y→x. Luego tomar XX para ser el cociente de pila [U/G]. Esta es una singular pila de Deligne-Mumford (ya que tiene un etale cubierta por algo singular), pero su espacio grueso es A1, que es lisa.
DShook
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Creo que si el grueso del espacio de moduli es suave, por lo que es el DM de la pila, debido a XX --> X es un gerbe, que es siempre suave (ya que la suavidad se puede comprobar fppf de forma local en X, y, B(G/X) es suave sobre la X). Una pila (o una de morfismos de pilas, no necesariamente representable) se define a ser suave, si se puede encontrar una presentación que es suave a lo largo de la base. Y si es suave, entonces cualquier presentación es suave. Por eso me confundí en Anton ejemplo. Tal vez alguien puede explicar esto a mí. Gracias de antemano.
