Denotemos $a_n = f^{(n)}(a)$ y $S_m = \sum_{n=0}^m a_n$ .
En un barrio de $z=a$ la función $f$ es igual a su serie de Taylor: $$ \tag{*} f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n \frac{(z-a)^n}{n!} \, . $$ La convergencia de $(S_m)$ implica que $a_n \to 0$ y, en particular, que $(a_n)$ es una secuencia acotada. Se deduce que la serie de potencias en $(*)$ tiene radio de convergencia infinito, y por tanto define una función entera $F$ .
$F$ es una continuación analítica de $f$ porque las funciones coinciden en una vecindad de $z=a$ (o porque tienen la misma serie Taylor).
Para la segunda parte necesitamos las derivadas de $F$ que son $$ F^{(k)}(z) = \sum_{n=0}^\infty a_{n+k} \frac{(z-a)^n}{n!} \, . $$
Ahora dejemos que $K \subset \Bbb C$ sea un conjunto compacto y $\epsilon > 0$ . Establecer $M = \max \{ e^{|z-a|} \mid z \in K \}$ .
$(S_m)$ es una sucesión de Cauchy, por lo que $|S_p - S_q| < \epsilon$ para un $q > p \ge N$ . Para $z \in K$ y $p > q \ge N$ entonces tenemos $$ \sum_{k=p+1}^q F^{(k)}(z) = \sum_{n=0}^\infty (S_{n+q}- S_{n+p}) \frac{(z-a)^n}{n!} $$ y por lo tanto $$ \left| \sum_{k=p+1}^q F^{(k)}(z) \right| \le \epsilon \sum_{n=0}^\infty \frac{|z-a|^n}{n!} = \epsilon e^{|z-a|} \le M \epsilon \, . $$ De ello se deduce que $ \sum_{k=0}^\infty F^{(k)}(z)$ es uniformemente convergente en $K$ .
