Imagen de $A^\frac{1}{2}$ igual a la imagen de $A$

Question

Sea $A\in B(H)$ ser un gama cerrada operador positivo, y $A^\frac{1}{2}$ su raíz cuadrada. Imagen clara de $A$ es un subconjunto de la imagen de $A^\frac{1}{2}~~$ ( $R(A)\subset R(A^\frac{1}{2})$ ). ¿Cómo demostramos $R(A)= R(A^\frac{1}{2})$ ? Edito la pregunta

Answer 1

Esto es falso. Establecer $H = \ell^2(\mathbb{N})$ y que $A$ sea el operador de multiplicación definido por

$$ A \left( (x_n)_{n=1}^{\infty} \right) = \left( \frac{x_n}{n} \right)_{n=1}^{\infty}. $$

Entonces

$$ A^{\frac{1}{2}} \left( (x_n)_{n=1}^{\infty} \right) = \left( \frac{x_n}{\sqrt{n}} \right)_{n=1}^{\infty} $$

y $\left( \frac{1}{n^{1.5}} \right)_{n=1}^{\infty} \in R(A^{\frac{1}{2}})$ pero no en $R(A)$ .

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Si la gama de $A$ está cerrado, el resultado es verdadero. Para ver por qué, observe que si $x \in \ker(A^{\frac{1}{2}})$ entonces $Ax = A^{\frac{1}{2}} A^{\frac{1}{2}} x = 0$ así que $x \in \ker(A)$ mientras que si $x \in \ker(A)$ entonces $$ \left< A^{\frac{1}{2}}x, A^{\frac{1}{2}}x \right> = \left< x, Ax \right> = 0 $$

así que $x \in \ker(A^{\frac{1}{2}})$ . Ahora,

$$ R(A) \subseteq R \left(A^{\frac{1}{2}} \right) \subseteq \overline{ R \left( A^{\frac{1}{2}} \right)} = \ker \left( A^{\frac{1}{2}} \right)^{\perp} = \ker(A)^{\perp} = \overline{R(A)} = R(A) $$

y así obtenemos $R(A) = R \left(A^{\frac{1}{2}} \right)$ .