Fuerza inversamente proporcional a la distancia al cuadrado

Question

Ley de gravitación universal de Newton: "La ley de gravitación universal de Newton establece que cada masa puntual en el universo atrae a todas las demás masas puntuales con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas."

Ley de Coulomb: "La magnitud de la fuerza electrostática de interacción entre dos cargas puntuales es directamente proporcional a la multiplicación escalar de las magnitudes de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de las distancias entre ellas."

¿Cómo supieron Sir Isaac Newton y Sir Charles Augustine De Coulomb que la fuerza, gravitacional o de Coulomb, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre dos masas puntuales o cargas, por qué no dijeron simplemente que la fuerza es inversamente proporcional a la distancia entre dos cuerpos o dos cargas? Debe haber habido algo que los llevó a formular estas leyes del cuadrado inverso.

Answer 1

La respuesta corta es "observaciones".

En el caso de la ley de la gravedad, las órbitas de los planetas alrededor del sol, la luna alrededor de la tierra se ajustan matemáticamente a una fuerza con una ley de inverso del cuadrado para la distancia. Una ley inversa no.

En el caso de la electricidad, este artículo señala la historia observacional:

Los primeros investigadores que sospechaban que la fuerza eléctrica disminuía con la distancia al igual que lo hacía la fuerza gravitatoria (es decir, como el cuadrado inverso de la distancia) incluían a Daniel Bernoulli 1 y Alessandro Volta, ambos de los cuales midieron la fuerza entre placas de un capacitor, y Aepinus quien supuso la ley del cuadrado inverso en 1758.

y luego otros continuaron hasta llegar a las publicaciones completas de Coulomb, basadas en mediciones.

Finalmente, en 1785, el físico francés Charles Augustin de Coulomb publicó sus primeros tres informes sobre electricidad y magnetismo donde estableció su ley. Esta publicación fue esencial para el desarrollo de la teoría del electromagnetismo. Utilizó una balanza de torsión para estudiar las fuerzas de repulsión y atracción de partículas cargadas y determinó que la magnitud de la fuerza eléctrica entre dos cargas puntuales es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas.

Answer 2

En realidad, la idea de la ley del cuadrado inverso precedió a Newton (o al menos a las publicaciones de Newton sobre el tema) por lo menos un poco. Robert Hooke propuso que la gravedad la obedecía antes de que lo hiciera Newton. Su razonamiento fue inspirado por consideraciones geométricas y de la luz. Si tienes una fuente de luz puntual, la potencia que pasa a través de una esfera centrada en el punto será constante. Si el punto está emitiendo de manera uniforme en todas las direcciones, se puede concluir que la potencia por unidad de área, o intensidad, disminuirá como $1/r^2$, y esto se sabía desde hace tiempo. Básicamente, la potencia de $2$ proviene del hecho de que las áreas de las esferas crecen con la potencia del radio, lo que viene del hecho de que el espacio tiene $2+1 = 3$ dimensiones.

Entonces, es algo natural imaginar una cantidad conservada proveniente de una fuente, distribuida uniformemente sobre una esfera. Su influencia en una partícula de prueba simplemente se determina por lo que intercepta la partícula de prueba, por lo que la influencia disminuye a medida que la cantidad se distribuye sobre superficies cada vez más grandes.

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Por cierto, Newton nunca le dio mucho crédito a Hooke por esta idea. Hooke, al no tener las herramientas disponibles para hacer algo al respecto (a diferencia de Newton, quien demostró que las leyes empíricas de Kepler siguen inmediatamente de una ley del cuadrado inverso), recibió menos reconocimiento del que sentía que merecía. Esta rivalidad llevó a Hooke a unirse con Leibniz contra Newton, y el debate creció para abarcar cálculo, filosofía y una cantidad de académicos de un continente entero.

Answer 3

Históricamente, Isaac Newton fue por supuesto el primer hombre que descubrió la ley del cuadrado inverso y Coulomb simplemente lo copió de Newton. Los campos electrostáticos y gravitatorios siguen ambos la ley $1/r^2$ porque en cierto régimen, están descritos por la misma ecuación matemática $\Delta \Phi = \rho$. En un lenguaje sencillo, estas leyes indican que las líneas de campo tienen que ser compartidas por (es decir, diluidas a) el área $4\pi r^2$ de una esfera, razón por la cual la intensidad tiene que disminuir como $1/4\pi r^2$. Esta es realmente la explicación "heurística" de por qué la ley es $1/r^2$ en un espacio tridimensional. En un espacio de 9 dimensiones, sería $1/r^8$ y así sucesivamente.

Isaac Newton determinó originalmente la ley del cuadrado inverso a partir de dos consideraciones independientes pero estrechamente relacionadas, casi al mismo tiempo. Una de ellas fue una comparación entre el movimiento de los cuerpos cerca de la Tierra y el movimiento de la Luna. La otra fueron las leyes de Kepler para las órbitas planetarias.

En cuanto a la analogía de la Luna-bola, él pudo haber deducido que la Luna está 60 veces más lejos del centro de la Tierra que los objetos en la superficie terrestre (360,000 km vs 6,000 km). Tradujo esta relación a una relación de las fuerzas que deben actuar sobre los objetos a estas dos distancias para producir la proporción correcta de períodos, y descubrió que la relación de fuerzas es de 1 a 3,600 y por lo tanto la ley es $1/r^2$.

El otro método – que es casi equivalente (y difiere principalmente por tener al Sol en lugar de la Tierra como la fuente de gravedad en el centro) – utilizó la tercera ley de Kepler. Kepler fue capaz de deducir las órbitas exactas de los planetas (incluido el tiempo) a partir de las meticulosas observaciones de Tycho Brahe y extraer las leyes fenomenológicas. La tercera ley dice que $T^2\sim a^3$: el período al cuadrado de la órbita es proporcional al cubo del semieje mayor de la órbita elíptica. Cuando se estudian órbitas circulares, es directo demostrar que esta ley de potencia que relaciona el período y el radio es equivalente a la ley de potencia $1/r^2$ en la fuerza. Estás invitado a comprobarlo por ti mismo; si te faltan matemáticas para hacerlo, temo que mi reproducción de la prueba no sería de mucha ayuda de todos modos.

Permíteme darte la derivación, de todos modos. La fuerza centrípeta (y la aceleración), al igual que la centrífuga opuesta, va como $r\omega^2\sim r/T^2$ donde $T$ es el período y $r$ es el radio de la órbita circular. Porque Kepler determinó $T^2\sim r^{3}$ en su tercera ley, $r/T^2$ va como $r/r^3=1/r^2$ y eso es todo: deduje que la aceleración (y por lo tanto la fuerza) que debe actuar sobre el planeta tiene que ser como $1/r^2$.

(Nota que si quisieras $1/r$, la tercera ley de Kepler tendría que decir $T^2\sim r^2$ es decir $T\sim r$. Esta proporcionalidad sería equivalente a velocidades constantes de los planetas, independientemente de su distancia al Sol. Eso es realmente cómo funcionaría si el espacio tuviera 2 dimensiones espaciales pero el Sistema Solar del mundo real y sistemas similares simplemente no funcionan así: la velocidad de los planetas cercanos es mayor.)