¿cuándo $\limsup(a_n + b_n) < \limsup(a_n) + \limsup(b_n)$ ¿tiene?

Question

He demostrado la desigualdad para $\limsup(a_n + b_n) \le \limsup(a_n) + \limsup(b_n)$

pero ¿cuándo es cierta la desigualdad estricta dada como $\limsup(a_n + b_n) < \limsup(a_n)+ \limsup(b_n)$

para mí, creo que puede ser cierto que si $\limsup(a_n) + \limsup(b_n)$ ambos divergen individualmente, pero el $a_n +b_n$ las secuencias convergen, entonces se cumple esta desigualdad estricta. pero ¿es éste el único caso?

Muchas Gracias

Answer 1

$\limsup a_n$ y $\limsup b_n$ no tienen por qué ser infinitas, basta con que $a_n$ es pequeño cuando $b_n$ es grande y a la inversa.

Un ejemplo sencillo es

$a_n = (-1)^n \\ b_n = -(-1)^n$

con

$\limsup a_n = \limsup b_n = 1$ y $\limsup( a_n+b_n ) = 0.$