¿Conduce la composición N-fold de rotaciones a una cobertura?

Question

Para cualquier $N \in \mathbb N_1$ El mapa $SO(\mathbb R,2) \to SO(\mathbb R,2) \ R \mapsto R^N$ es un mapa de cobertura de N pliegues. Para mí es fácil verlo considerando las rotaciones como números complejos de magnitud uno. Me gustaría saber si este resultado se generaliza a dimensiones mayores. Es decir:

Es para todo n > 1 el mapa $SO(\mathbb R,n) \to SO(\mathbb R,n) \ R \mapsto R^N$ ¿una cubierta N?

Si es el caso, no estoy muy seguro de cómo demostrarlo, ya que no tengo un análogo para los números complejos en dimensiones superiores. De hecho buscando en Wikipedia para encontrar representaciones de $SO(R,n)$ no conduce realmente a un patrón discernible de lo que $SO(R,n)$ puede ser para diferentes $n$ . Así que no sé cómo proceder.

Answer 1

Debido al comentario realizado por Señor Tiburón el Desconocido Completaré los detalles para una respuesta:

Para $n \geq 3$ la hipótesis falla.

Considere el caso $N = 4$ . hay rotaciones inexplicablemente infinitas que cuando se elevan a la cuarta potencia dejan la identidad. Para observar esto, tomemos cualquier vector unitario $v$ que es ortogonal a $e_1$ . Considere la rotación única $R$ en el $<x,v>$ avión tomando $x$ a $v$ . Es tal que $R^4 = I$ . Como hay incontables $v$ todos conducen a diferentes $R$ hemos encontrado incontables rotaciones que tienen cuarta potencia la identidad y se demuestra el resultado.

¡Gracias por la ayuda Señor Tiburón!