¿Es todo conjunto cerrado de Q² la intersección de algún conjunto cerrado conexo de R² con Q²

Question

Sea $F\subset\mathbb{Q}^2$ un conjunto cerrado. ¿Existe algún conjunto cerrado y conexo $G\subset\mathbb{R}^2$ tal que $F=G\cap\mathbb{Q}^2$ ?

Por ejemplo $F=\{a,b\}$ puede tomar $G$ la reunión de dos rectas de pendientes irracionales diferentes que pasan por $a$ y $b$ . Se trata de un conjunto conexo y la intersección con $\mathbb{Q}^2$ est $\{a,b\}$ porque las pendientes son irracionales.

Pero no sé cómo demostrarlo en general (y no sé si es cierto). Cuando hay muchos componentes conectados esto no está claro cómo conectarlos sin añadir nuevos puntos racionales.

Answer 1

Enumera todos los puntos racionales fuera de tu conjunto. A continuación, cubra estos puntos por bolas abiertas por inducción de la siguiente manera: la siguiente bola está centrada en el primer punto racional no cubierto hasta ahora, su radio es tan pequeño que no se interseca con $F$ y las bolas anteriores y se elige de forma que la frontera de la bola no contenga puntos racionales. Entonces el complemento de la unión de estas bolas está conectado por trayectorias: para conectar dos puntos, se traza un segmento entre ellos y se rodea cada bola intersecada por este segmento.

Obsérvese que esto funciona para cualquier conjunto contable, no sólo para $\mathbb Q^2$ .

Answer 2

Puede que haya algo mal en esta sugerencia, pero ¿no está bien enumerar todos los puntos de F y luego conectar dos puntos "consecutivos" de la forma que Guillaume describe en su pregunta (trazando dos líneas con pendiente irracional)?