Autounión esencial de operadores diferenciales en variedades compactas

Question

Sea $L$ sea un operador diferencial lineal (con coeficientes suaves) sobre una variedad compacta diferenciable $M$ (sin límite). Supongamos que $M$ está dotado de una forma de volumen lisa (en realidad, una densidad de volumen lisa, si se desea considerar el caso no orientable), de modo que podemos hablar del espacio de Hilbert $L^2(M)$ . Considero que $L$ como un operador densamente definido en $L^2(M)$ con dominio $C^\infty(M)$ . Supongamos que $L$ es simétrica. ¿Es cierto que $L$ es esencialmente autoadjunto? Si $L$ es elíptica entonces la respuesta es sí (una posible prueba: el dominio del adjunto $L^*$ es el conjunto de los $f\in L^2(M)$ tal que $L(f)$ --- entendida en el sentido de distribución, está en $L^2(M)$ y $L^*$ es la restricción de la extensión de $L$ a las distribuciones. Sea $f$ sea un vector propio de $L^*$ con valor propio $\pm i$ . Entonces $f$ es una solución débil de $L(f)=\pm if$ y, por regularidad elíptica, $f$ es suave y, por tanto, es un vector propio de $L$ con valor propio $\pm i$ contradiciendo la simetría de $L$ ).

Ingenuamente, la ausencia de autounión esencial está relacionada con la existencia de varias posibles "condiciones de contorno", que no existen para las variedades compactas. Así que, ingenuamente, el resultado parece plausible. Pero quizá sea demasiado ingenuo.

Edición: El resultado es falso y el contraejemplo sugerido por Terry Tao funciona. Sea $M=S^1=\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$ y $L=\frac{d}{dx}\sin(x)\frac{d}{dx}$ . El operador simétrico $L$ no es esencialmente autoadjunto en $C^\infty(S^1)$ . Una solución no nula de $(L^*+i)\psi=0$ se obtiene mediante series de Fourier. He aquí los detalles: set $a_0=0$ , $a_1=1$ y $a_{k+2}=\frac{k}{k+2}a_k+\frac{2}{(k+1)(k+2)}a_{k+1}$ para $k\ge0$ . Se demuestra fácilmente por inducción que la secuencia $a_k$ est $O(k^{-2/3})$ y, por tanto, es integrable al cuadrado. La función $\psi(x)=\sum_{k=0}^\infty a_ke^{ikx}$ es, por tanto, en $L^2(S^1)$ y resuelve $(L^*+i)\psi=0$ (porque resuelve $(L+i)\psi=0$ en el sentido distributivo).

Answer 1

Creo que la respuesta debería ser negativa, porque la respuesta al problema clásico correspondiente es negativa. Es decir, existen operadores diferenciales simétricos L tales que el flujo hamiltoniano asociado al símbolo no es completo. Por ejemplo, consideremos un operador simétrico con símbolo principal $-\sin(x) \frac{d^2}{dx^2}$ en el círculo ${\bf R}/2\pi{\bf Z}$ el símbolo aquí es $\sin(x) \xi^2$ lo que conduce al flujo hamiltoniano $\dot \xi = \cos(x) \xi^2$ , $\dot x = - 2\sin(x) \xi$ que presenta una explosión de tipo Ricatti en tiempo finito a lo largo de la $x=0$ eje.

Este no es un argumento del todo riguroso, ya que en realidad no he descartado la posibilidad de que los propagadores unitarios $e^{itL}$ todavía existen de alguna manera, pero el hecho de que al menos una trayectoria semiclásica explote hace que esa posibilidad sea bastante remota, en mi opinión. (Es de suponer que se puede modificar el ejemplo para que explote un conjunto de trayectorias de medida positiva, lo que sería una prueba más convincente hacia la no autoconcordancia).

Answer 2

Me gustaría señalar que, aunque la dinámica clásica sea incompleta (con un gran conjunto de trayectorias que escapan en un tiempo finito), la cuántica bien podría ser completa.

Por ejemplo, en $M = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x >0 \}$ la métrica de Riemann (métrica de Grushin)

$$ g = dx^2 + \frac{1}{x^2}dy^2 $$

No es difícil demostrar que el Laplace-Beltrami $\Delta$ de la métrica anterior, con dominio $C^\infty_c(M)$ es esencialmente autoadjunto (véase [ 2 ]). Obsérvese que en el ejemplo anterior no hay potencial externo: el confinamiento es puramente geométrico.

Por otra parte, el principal símbolo de $\Delta$ es

$$ 2H = p_x^2 + x^2p_y^2 $$

y puede prolongarse sin problemas en todo el $\mathbb{R}^2$ donde da origen a una dinámica completa. En este caso, esencialmente tous trayectorias que parten de puntos con $x>0$ cruzan en algún momento la región singular $\{x=0\}$ (la única excepción son las trayectorias con $p_y=0$ y $p_x>0$ ). Y lo que es más importante, lo hacen sin perder la optimalidad (en el sentido de que todas estas trayectorias son caminos más cortos para la métrica riemanniana).

Se trata de un caso particular de un hecho más general (es decir, la completitud cuántica) para estructuras riemannianas no completas que satisfacen condiciones adecuadas en la frontera métrica, como se ha demostrado recientemente en [ 1 ].

Permítanme mencionar que la completitud cuántica para estructuras bidimensionales casi riemannianas (una clase de la que forma parte la métrica de Grushin anterior) se demostró originalmente en [ 2 ], utilizando las formas normales para estructuras 2D casi riemannianas.

Queda abierta una conjetura para situaciones más singulares (es decir, estructuras casi riemannianas no regulares en el lenguaje de [ 1 ]).