Mostrar $\det(aM+bN)-\det(aM)-\det(bN)=ab\left[\det(M+N)-\det(M)-\det(N)\right]$

Question

¿Por qué $\det(aM+bN)-\det(aM)-\det(bN)=ab\left[\det(M+N)-\det(M)-\det(N)\right]$

$M,N$ son $2\times 2$ matrices, $a,b\in K$ para algún campo $K$ . Si escribo $M=(m_{ij})_{i,j}$ para $\ 1\le i,j\le2$ entonces es cierto, pero un largo cálculo. ¿Hay una manera más corta de verificarlo

Answer 1

Aplicando las propiedades de los determinantes, tenemos:

$$\begin{vmatrix}aa_{11}+bb_{11} & aa_{12}+bb_{12}\\ aa_{21}+bb_{21}& aa_{22}+bb_{22}\end{vmatrix}- \begin{vmatrix}aa_{11} & aa_{12}\\ aa_{21}& aa_{22}\end{vmatrix}- \begin{vmatrix}bb_{11} & bb_{12}\\ bb_{21}& bb_{22}\end{vmatrix}$$

$$=\begin{vmatrix}aa_{11} & aa_{12}+bb_{12}\\ aa_{21}& aa_{22}+bb_{22}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}bb_{11} & aa_{12}+bb_{12}\\ bb_{21}& aa_{22}+bb_{22}\end{vmatrix}- \begin{vmatrix}aa_{11} & aa_{12}\\ aa_{21}& aa_{22}\end{vmatrix}- \begin{vmatrix}bb_{11} & bb_{12}\\ bb_{21}& bb_{22}\end{vmatrix}$$

$$=\begin{vmatrix}aa_{11} & aa_{12}\\ aa_{21}& aa_{22}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}aa_{11} & bb_{12}\\ aa_{21}& bb_{22}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}bb_{11} & aa_{12}\\ bb_{21}& aa_{22}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}bb_{11} & bb_{12}\\ bb_{21}& bb_{22}\end{vmatrix}- \begin{vmatrix}aa_{11} & aa_{12}\\ aa_{21}& aa_{22}\end{vmatrix}- \begin{vmatrix}bb_{11} & bb_{12}\\ bb_{21}& bb_{22}\end{vmatrix}$$

$$=\begin{vmatrix}aa_{11} & bb_{12}\\ aa_{21}& ba_{22}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}bb_{11} & bb_{12}\\ bb_{21}& ba_{22}\end{vmatrix}$$

$$=ab\left(\begin{vmatrix}a_{11} & b_{12}\\ a_{21}& b_{22}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}b_{11} & a_{12}\\ b_{21}& a_{22}\end{vmatrix}\right)$$

$$=ab\left(\begin{vmatrix}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}\end{vmatrix}- \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{vmatrix}- \begin{vmatrix}b_{11} & b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{vmatrix}\right)$$

Answer 2

Fijar $2 \times 2$ matrices reales $M$ y $N$ . La función $$ f(a, b) = \det(aM + bN) - \det(aM) - \det(bN) - ab[\det(M + N) - \det M - \det N] $$ es claramente una homogénea cuadrático polinomio, por lo que tiene la forma $$ f(a, b) = C_{11}a^{2} + 2C_{12} ab + C_{22} b^{2} $$ para algunos elementos $C_{ij}$ de $K$ .

Los hechos que $f(a, 0) = f(0, b) = 0$ implica $C_{11} = C_{22} = 0$ después de lo cual el hecho de que $f(1, 1) = 0$ implica $C_{12} = 0$ .

Answer 3

Sea $M_1$ y $M_2$ sean dos columnas de $M$ y $N_1$ y $N_2$ sean dos columnas de $N$ . Entonces el LHS se evalúa como

$$ [aM_1+bN_1,aM_2+bN_2]-[aM_1,aM_2]-[bN_1,bN_2]= ab([M_1,N_2]+[M_2,N_1]) $$ por bilinealidad. Del mismo modo, en el lado derecho, el término $\det(M+N)-\det(M)-\det(N)$ se evalúa como

$$ [M_1+N_1,M_2+N_2]-[M_1,M_2]-[N_1,N_2]= [M_1,N_2]+[M_2,N_1] $$ como deseaba.