No existe ningún grupo simple de orden $1452$ .

Question

Quiero demostrar que no hay ningún grupo simple de orden $1452$ . Tenemos $1452 = 2^2\cdot 3\cdot 11^2$ y los teoremas de Sylow dan:

\begin{align} n_2 &\in \{1,3,11,33,121,363\} \\ n_3 &\in \{1,4,22,121,484\} \\ n_{11} & \in \{ 1,12 \} \end{align}

Si alguno de los $n_{p}$ si $1$ Hecho. Si $n_2 = 3$ o $n_3 = 4$ acción por conjugación en la colección de $2$ -Sylows o $3-$ Sylows de $G$ induce un morfismo de $G$ a un grupo de orden $3!$ o $4!$ respectivamente, que no pueden ser inyectivas ya que $1452 \not\mid 6$ y $1452 \not\mid 24$ por lo que el núcleo de dicho morfismo es un subgrupo no trivial de $G$ Hecho.

Entonces podemos suponer a partir de ahora que $n_{11}=12$ , $n_{2}\geq 11$ y $n_3 \geq 22$ . Ahora estoy atascado. ¿ayuda?

Answer 1

Siguiendo su razonamiento, ya que $11$ aparece dos veces en $1452$ y sólo una vez en $12!$ , $1452$ no puede dividir $12!$ por lo que puede concluir con $n_{11}=1$ .