es $E[W\mid X]P[X]$ lo mismo que $E[W\Bbb 1\{X\text{ takes place}\}]$

Question

En una prueba de que estoy leyendo hay la siguiente configuración:

$W$ es una variable aleatoria tal que $E[\mid W\mid]<\infty$ y $T$ es otra variable (un tiempo de parada) que toma valores en $\Bbb N\cup\{\infty\}$ pero aquí $P[T<\infty]=1$ .

Tenemos $$E[|W|\Bbb 1\{T\le n\}]=E[|W|\sum\limits_{k=1}^n\Bbb 1\{T=k\}]=\sum\limits_{k=1}^nE[|W|\Bbb 1\{T=k\}]=\sum\limits_{k=1}^nE[|W|\vert T=k]P[T=k]\xrightarrow[n\rightarrow\infty]{}E[|W|]$$

No estoy seguro de por qué es cierta la tercera igualdad: $\sum\limits_{k=1}^nE[|W|\Bbb 1\{T=k\}]=\sum\limits_{k=1}^nE[|W|\vert T=k]P[T=k]$

Answer 1

Por definición de expectativa condicional si $P(A)>0$ así que

$E(Y|A)=\frac{E(YI_A)}{P(A)}$ (esta definición para todo tipo de variable continua, discreta y mezcla https://en.wikipedia.org/wiki/Conditional_expectation ) así que

$E(|W| \bigg{|} (T=k))=\frac{E(|W| I_{(T=k)})}{P(T=k)}$

así que

$E(|W| I_{(T=k)}) =E(|W| \bigg{|} (T=k)) P(T=k)$

por tomar $\sum$ de ambas partes, consigues lo que quieres.