Pregunta sobre la relación entre el adjunto y el inverso del operador lineal en el espacio de Hilbert

Question

Me estoy formando en análisis funcional a partir de una formación en informática. No tengo ni idea del siguiente problema de ejercicio de análisis funcional introductorio . Se agradece cualquier pista o ayuda. Muchas gracias.

Sea $H$ sea un espacio de Hilbert y $T: H \rightarrow H$ un operador lineal biyectivo acotado cuya inversa es acotada. Demostrar que $(T^{*})^{-1}$ existe y

$$ (T^{*})^{-1} = (T^{-1})^{*} $$

Es fácil demostrar $T^{-1}$ existe, pero parece que no soy capaz de encontrar ninguna pista para encontrar la relación entre el $T^{-1}$ y $T^{*}$ .

Answer 1

Sugerencia : Desde $T$ es un operador lineal biyectivo acotado, se tiene la existencia de $T, T^*, T^{-1}$ y $(T^{-1})^*$ ( ¿Por qué? )

Entonces $\left< x, y\right> = \left<T^{-1}Tx, y\right> = \left<Tx, (T^{-1})^*y\right> = \left<x, T^*(T^{-1})^*)y\right>$ para todos $x,y\in\mathcal{H}$ . ¿Qué nos dice esto sobre la relación entre $T^*$ y $(T^{-1})^*$ ?

Una pista más, los inversos son únicos.