Prueba de convergencia de las series

Question

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(\log{n})^{(\log n)}}$$

Intenté usar la prueba de condensación de Cauchy: $$\sum_{n=1}^{\infty} 2^n\frac{1}{(\log{2^n})^{(\log 2^n)}}$$ Supongamos que el logaritmo es de base 2: $$\sum_{n=1}^{\infty} 2^n\frac{1}{n^{n}}$$ $$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{n}\right)^n$$ Y ahora estoy atascado. Gracias de antemano.

Answer 1

La serie $\sum_{n=1}^\infty(\frac{2}{n})^n$ converge, ya que $(\frac{2}{n})^n\leq(\frac{1}{2})^n$ para $n\geq 4$ .