Diferenciación $f(x)=\frac{3(1-\sin x)}{2\cos x}$

Question

Tengo problemas para resolver la siguiente derivada. He intentado aplicar la regla del cociente, pero no consigo obtener el mismo resultado que en mi libro de texto.

La función:

$$f(x)=\frac{3(1-\sin x)}{2\cos x}$$

El resultado que debía obtener:

$$f'(x)=\frac{3}{2}\sec x(\tan x-\sec x)$$

Lo he intentado aplicando la regla del cociente:

$$f(x) =\frac{3(1-\sin x)}{2\cos x}=\frac{3-3\sin x}{2\cos x}$$ \begin{align*} f'(x) & =\frac{-3\cos x \cdot 2\cos x - (3- \sin x) \cdot -2\sin x}{2\cos^2x}\\ & =\frac{-6\cos^2x-(-6\sin x+6\sin^2x)}{2\cos^2x}\\ & =\frac{-6\cos^2x+6\sin x+6\sin^2x}{2\cos^2x} \end{align*}

¿Alguien puede mostrarme paso a paso cómo obtener el resultado anterior?

Gracias de antemano por toda su ayuda.

Answer 1

$$f(x)=\frac{3(1-\sin x)}{2\cos x} =\frac {3}{2} (\frac {1-\sin x}{\cos x})$$

Aplicar la regla del cociente $$ f'(x) =\frac {3}{2}( \frac {-\cos x (\cos x)+\sin x (1-\sin x)}{\cos ^2 x})=$$

$$\frac {3}{2}( \frac {\sin x -1}{\cos ^2 x})=$$

$$\frac {3}{2}( \frac {1}{\cos x} \frac {\sin x -1}{\cos x})=$$

$$\frac {3}{2} \sec x(\tan x - sec x)$$

Answer 2

Necesitamos utilizar $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$ :

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\frac{3(1-\sin x)}{2 \cos x}=\frac{3}{2}(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\frac{1}{\cos x}-\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\tan x)=\frac{3}{2}(\frac{-1 \times (-\sin x)}{\cos^2x}+\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x})=\frac{3}{2 \cos x}(\tan x + \frac{1}{\cos x})=\frac{3}{2}\sec x(\tan x+\sec x)$$