Hermiticidad del Laplaciano (y otros operadores)

Question

Es el operador laplaciano, $\nabla^{2}$ , a Operador hermitiano ?

Alternativamente: ¿es hermitiana la representación matricial del laplaciano?

es decir

$$\langle \nabla^{2} x | y \rangle = \langle x | \nabla^{2} y \rangle$$

Creo que $\nabla^{2}$ es hermitiana (si no lo fuera, entonces el hamiltoniano de la ecuación de Schroedinger independiente del tiempo no sería hermitiano), pero no sé cómo se podría demostrar que es así.

En términos más generales, ¿cómo determinar si un operador general es hermitiano? Se podría calcular cada elemento de una representación matricial del operador para ver si la matriz es igual a su transpuesta conjugada, pero no sería ni eficaz ni general.

Tengo entendido que la hermiticidad es una propiedad que no depende de la representación matricial del operador. Creo que debería haber una forma general de probar la Hermiticidad de un operador sin evaluar los elementos de la matriz en una representación matricial particular.

Disculpas si esta pregunta está mal planteada. No estoy seguro de si debo ser más específico con las definiciones de "hermitiano" y "laplaciano". No dude en pedir aclaraciones.

Answer 1

En general, hay que escribir las integrales de $\langle\phi|\Delta\psi\rangle$ y $\langle\Delta\phi|\psi\rangle$ y transformarlos entre sí utilizando la integración por partes.

La hermiticidad no depende de la base (representación matricial) utilizada. Pero sí depende de las condiciones de contorno impuestas, ya que hay que asegurarse de que la integración por partes no genere términos de contorno no hermitianos.

Con las condiciones de contorno utilizadas habitualmente en mecánica cuántica (integrabilidad cuadrada en $R^n$ ), es un operador autoadjunto y, en particular, hermitiano.

Answer 2

Sí.

Hermitiano significa autoadjunto con respecto a una forma conjugada-lineal. En este caso, la forma es $\langle\phi|\psi\rangle=\int\phi\psi^*$ , donde la integral es sobre ${\mathbb R}^3$ . Usted lo sabe porque $p=\psi\psi^*$ da la probabilidad de encontrar una partícula en $x$ Así que $\langle\psi|\psi\rangle=\int p=1$ para una sola partícula. Eso no pretende ser una prueba, sólo una manera de descartar casi cualquier otra posible forma conjugada-lineal que se te pueda ocurrir.

Autoadjunto significa que $\langle\nabla^2\phi|\psi\rangle=\langle\phi|\nabla^2\psi\rangle$ . En este caso, $$\int(\nabla^2\phi)\psi^* =\int\phi(\nabla^2\psi)^* =\left(\int(\nabla^2\psi)\phi^*\right)^*.$$ Hagámoslo. Con el uso liberal de la integración por partes y las cosas que desaparecen en infinito cuando se supone que deben hacerlo, $$\begin{align} \int(\nabla^2\phi)\psi^* &=\sum\int\frac{d^2\phi}{d x_i^2}\psi^* =-\sum\int\frac{d\phi}{d x_i}\frac{d\psi^*}{d x_i}\\ &=-\sum\left(\int\frac{d\psi}{d x_i}\frac{d\phi^*}{d x_i}\right)^* =\left(\int(\nabla^2\psi)\phi^*\right)^*. \end{align}$$